Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
случае таких точек четыре и они расположены симметрично относительно
действительной и мнимой оси z.
Рассмотрим предельный случай, когда можно учитывать только одну пару
точек ветвления е -с -1,
69
Ы1/2&1/3>1 [4]. Вблизи kj==liE величину kz - E мож- . но представить в
виде 2УЕ(к - УЕ)- Вводя новую переменную г) = к - УЕ, перепишем уравнения
(19.4) следующим образом
idtyi/dr] = а'Пф! - рф2,
(22.5)
idq>2/dr\ = - аг)ф2 - [5ф1,
где а - AFEl/z/Fz, [5 = a/F. Исключая ф1; сведем систему (22.5) it одному
уравнению
d^Jdrf + (j32 - а - а2т]2)ф1 = 0. (22.6)
Замена | = т](2а)i/2 приводит к известному уравнению Вебера
с^ф/йе2 + [р2/2а - 1/2 - |2/4]ф4 = 0. (22.7)
В гл. II мы уже сталкивались с таким уравнением в задаче о прохождении
параболического слоя (см. § 11).
Предэкспоненциальный фактор, полученный в задаче о прохождении
параболического слоя, соответствует фактору В в рассматриваемой задаче. В
переменных е, Ъ он представляется в виде
В = 2я6[Г(1 - 6)]_26~2S • exp (26), 6 = 6/8е1/2. (22.8)
После преобразования Г-функции по формуле Г(ж)Г(1 - х) = я/втЫж) придем к
следующему выражению для В:
В = 2я_16 • sin2 (я6)Г2(6) • 6~2S • exp (26). (22.9)
При 6 < 1 находим В - 2я6, что соответствует результату, полученному по
теории возмущений (см. § 19). При 6 3> 1 можно провести усреднение по
осцилляциям, при этом В - 2 в соответствии с формулой Ландау - Зинера.
§ 23. Термы разного наклона
Рассмотрим ситуацию, когда наклоны термов имеют разные знаки (FtFz < 0)
[8]. Результаты, относящиеся к данному случаю, мы изложим более кратко,
останавливаясь лишь на основных соотношениях.
70
Система, аналогичная (19.4), неэрмитова в отличие от случая FiFz > 0,
поэтому классическую траекторию ввести нельзя. Если в случае F^FZ > 0
инвариантным являлось соотношение (см. § 16)
Ut(ft)|a + U*(fc)|2 = const, (23.1)
-то теперь, когда F^FZ < О,
U2(fc)|2 = const. (23.2)
Рассуждением, аналогичным предыдущему, связывающим асимптотики u"(xj при
1x1 -*¦ °° с асимптотиками ^4"(&) при |&| -*¦ то, получим для
коэффициента отражения Q и прохождения Р выражения
Q = иДоо)|-2, Р=|Л2(00)М1(00)Р. (23.3)
Если к-*- имеем А А-°°) = 1, Л2(-°°) = 0. Как и
Р,, в предыдущей задаче, Q и Р зависят только от двух параметров ей Ъ.
Найдем вероятности'отражения и прохождения для двух случаев: больших
энергий (е>1) (надбарьерное отражение) и очень малых (е <
< -1) (подбарьерное прохождение).
Прп е > 1 для определения коэффициентов отражения и прохождения
существенны две области вблизи к = ±Е1П. Решая систему (19.4) точно в
окрестности этих точек, получим
Р = (1 + cos ф)/(1 + d + cos ф), Q = d/(i + d + cos ф),
(23.4)
d = exp (-4лб)/2[1 - exp (-2лб),
где, как и ранее, 6 = Ы8е1/2; ф - произвольная фаза. Вблизи ф = я(2?г +
1) имеет место резонансное отражение. При этом коэффициент отражения
совпадает с известной формулой Брейта - Вигнера для расссея-ния на
квазистационарном состоянии [10]
Q = (2?074)/[(Д2?)2 + ЕЦ 4],* (23.5)
причем ширина уровня Е0 - h\FiF2\ exp (-2лб-)/уДР.
Коэффициент отражения, усредненный по небольшому интервалу энергии,
2Л
Q = j Q (ф).йф = (1/2) ехр (- 2яб)/[1 - ехр (2лб)]. (23.6)
о
74
Из формулы (23.6) видно существенное различие отражения от одноуровневого
барьера и барьера с верхней адиабатической кривой. Если в первом случае Q
-*¦ О при Е °°, то здесь при Е °° Q 1.
В случае подбарьерного прохождения (Е <-V, где
V - потенциальный барьер, образующийся в результате расщепления
пересекающихся термов) экспоненциально малая вероятность прохождения
находится так же, как в предыдущей задаче:
Р = В ехр
J[im
Fl + F2
(-t-F
11/211/2 V21 I dx
(23.7)
где ai и аг - корни подынтегрального выражения. Предэкспонента В, которая
в случае одной адиабатической кривой равна единице, имеет вид
В = 2лбв/2 ехр (-б)/б[Г(б)]2. (23.8)
В случае малого расщепления между термами (6<1) В = 2лб. При 6"1 получаем
5 = 1 и проникновение идет как через одноуровневый барьер. Влияние второй
адиабатической кривой сказывается при 6-1.
Глава IV
УРАВНЕНИЯ ТИПА ОРРА - ЗОММЕРФЕЛЬДА § 24. Введение
В ряде случаев (см., например, § 3, 4), анализируя колебания в
неоднородных и слабодиссипативных средах, мы приходим к необходимости
исследования дифференциальных уравнений четвертого порядка со зна-
72
попеременным коэффициентом при второй производной acpIV - U2ix)(f" +
Uiix)q> - 0. (24.1)
Исследованию подобных уравнений посвящено довольно много работ (см.,
например, [1], [2]). Эти уравнения обычно имеют малый параметр перед
старшей производной. Это позволяет разделить четыре линейнонезависимых
решения на две группы: быстро меняющиеся, при рассмотрении которых можно
не учитывать члены с низшими производными, и медленно меняющиеся,
получающиеся из укороченного уравнения без учета старших производных.
Решения разного масштаба переходят друг в друга в особых точках
укороченного уравнения. Обычно особые точки соответствуют резонансным
точкам. В них, например, может совпадать скорость движения сплошной среды
