Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
выражается в виде условия b < 1. В предельных случаях больших
отрицательных и положительных аргументов функции Эйри выражение
(20.2) дает
Р 1.2
я Ъ
2 У 8
я ь
4 УЙ
4я а tvAF '
б62/3>1,
ехр
~-ь |
13/2
,еЬ2/3<1,
(20.3)
причем в первом из этих равенств проведено усреднение быстро
осциллирующей вероятности по малому интервалу энергии. Противоположное
условие |ей2/3| < 1 отвечает случаю сближения точки пересечения и точки
поворота. При этом Ф2(-гЬ2/3) ~1 и вероятность перехода оказывается
порядка яй4/3.
§ 21. Формула Ландау - Зинера 110]
Обсуждаемая в настоящем параграфе модель неадиабатической связи двух
состояний была первой попыткой описать неадиабатическое взаимодействие в
66
небольшой области межатомных расстояний вблизи
квазипересечения или' пересечения термов. Рассмотрим эту широко
используемую модель на основе полуклас-сического приближения.
В окрестности точки пересечения термов скорости ядер будем считать
постоянными. Иными словами, предполагается, что в интервале сильной связи
волн энергия ядер меняется незначительно:
mv2/2->Fnm. (21.1)
Уравнения (19.6) будем решать, выбрав в качестве граничных условий
А^- °°) = 1, Аг(-°°) = 0. Тогда
А2{°°) определит вероятность перехода из одного состояния в другое после
прохождения зоны неадиабатического взаимодействия. Если же эта зона
проходится дважды, то переход осуществится с вероятностью
_W=-2U,(oo)|*[l-Ua(oo)|*]. "(21.2)
При этом мы предполагаем, что области неадиабатич-ности находятся друг от
друга на достаточно большом расстоянии, так что их взаимным влиянием -
интерференцией - можно пренебречь. , Указанное условие вместе с условием
(21.1) представляется в виде
11/2
Sn = ( 1/Й) j
2 М
Mv2
2 Un(R)
А5 = |51-5Я|"1. (21.3)
Отметим, что в рассматриваемом случае кривые UM) и U2(t) пересекаются в
мнимых точках
tlo±) = (±i)-2\Hlt\'/\Ft-F1\v. • (21.4)
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях t коэффициент
^44Ш имеет "квазиклас-сический по времени" вид
t
Аг (t) - exp
(i/U) [ иг (t) dt
(21.5)
Перейдем с левой вещественной полуоси в плоскости комплексного
переменного t на правую полуось по контуру, на котором условие
квазиклассичности выполняется везде. Поскольку Ui<Uz, переход должен
совер-
3*
67
шаться в верхней полуплоскости (с обходом точки t?). После обхода At(t)
перейдет в ^42W, причем
И 2(оо)|2= ехр
- (2/Й) Im j At/di
(21.6)
где в качестве 11 можно выбрать любую точку на вещественной оси, например
tt = 0. Учитывая (21.1), согласно (18.10), имеем
дг7 = [(^_^)(^)2_4я22]1/2. (21.7)
Заменяя AU в показателе экспоненты в (21.6) его выражением (21.7) и
интегрируя, окончательно получим формулу Ландау - Зинера
W - 2 ехр (-2яб)[1 - ехр (-2яб)],
8 = #22|Ь (21.8)
Вероятность перехода становится малой как при больших, так и при малых б.
В пределе малых 8 вместо
(21.8) имеем
W = AnHlz/hv | Fz - _ (21.9)
Из (21.9) видно, что характерное время нахождения атомов в зоне сильного
неадиабатического взаимодействия пропорционально |Я121/1 k.F\v, а размер
неадиабатической зоны-^#12/Д^. Учитывая это, представим в переменных е, Ъ
условие большой разности фаз и условие отсутствия интерференции амплитуд
вероятности (21.3) в следующем виде:
S = Ъв2/3 " 1, е"1. (21.10)
Эти условия определяют область применимости формулы Ландау - Зинера.
Заметим, что формула применима и в тех случаях, когда условие
квазиклассичности может быть нарушено.
§ 22. Сильное взаимодействие [3]
Для определения вероятности перехода при Ъ > 1 (большое расщепление)
необходимо в нулевом приближении исходить из адиабатических функций
найденных с учетом расщепления. Эти функции выражаются в виде линейных
комбинаций невозмущенных
функций ф". Диагонализируя матрицу (18.6), находим адиабатические функции
точного гамильтониана
= [ф! cos х + фг sin exp [-(i/h)^Eidt\,
^2 = [-ф1зш% + ф2cosexp [-(г/ft) JE2dt), (22.1)
X = (1/2) arctg (2/у), у = AFx/a,
где Ei ж Ei - термы с учетом расщепления. Неадиабатическая функция ищется
в виде ЛДг)^ + ^42(^)XF2. Решение в первом приближении с начальными
условиями -4Д-°°) = 1, А2{-°°) = 0 представляется как +°°
с2(оо)= ^ хехР\(ИЩ j {Е\- E2)dt^dt. (22.2) - 00
Подставляя сюда Еу - Е2 = [4а2 - (AFxYYn и заменяя переменную
интегрирования, получаем
+ 00 , z ч
С2(°°)= j ! +'(^2 _ еу2 ехР ibjj Kl + (z2 - 6)2 dz j dt,
(22.3)
Для приближенного расчета этого интеграла [10] сместим путь
интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной переменной до
ближайшей особой точки подынтегрального выражения ?0. В результате
приходим к следующему выражению для вероятности перехода:
¦ Р1>2 = В exp |2 Re ib j' [1 + (z2 - e)2]1/2 dzj. (22.4)
Интеграл (22.4) может быть выражен через полные эллиптические интегралы
от комплексного модуля, что дает возможность точно вычислить его
величину. Пред-экспоненциальный фактор В, слабо зависящий от е, может
быть найден в результате решения системы
(19.4) вблизи нулей подынтегральной функции (22.4). В рассматриваемом
