Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Матрица Mih составляется с помощью элементов матриц Mt (или М 2):
тш = тм = sin aih = mN+K N+i = mN+ii N+h, (15-29)
mu = mlh = mN+k>N+h = mN+i,N+i = e~i(fih cosaih,
где map - элементы матрицы Mag, N - число степеней; свободы, а
sin Oik = e~6ik, 28iu= $ dt (Qx- Q2)/2. (15.30)
SCik
Все остальные диагональные элементы Mih равны 1,. а недиагональные -
нулю.
Из унитарности Mik следует закон сохранения величины
N
I^'ZEi/Qu (15.31)
i-1
где Е, - энергия г-го нормального колебания.
Из формул (15.20)-(15.23), (15.27) видно, что степень несохранения
адиабатического инварианта осциллятора зависит от величины
соответствующего значения 6. При б > 1, как и в § 9, получаем
экспоненциальную точность. В приведенном выше рассмотрении мы не можем
сделать величину 6 сколь угодно малой. Это связано с тем, что нельзя
параметр связи а устремить к нулю, так как при а < е'Л нарушается условие
применимости ВКБ-приближения. При малых а можно, однако, воспользоваться
теорией возмущений [1] и получить сохранение адиабатического инварианта с
точностью до членов ~a/ev\
56
§16. Инварианты дифференциальных уравнений. Другой подход к определению
коэффициентов сшивки решений
Рассмотрим надбарьерное отражение (см. § 9) и аналогичный случай для двух
связанных осцилляторов (см. § 14) в другом плане. Если А и В -
коэффициенты при двух линейно-независимых решениях уравнения
х + a2(t)x - 0, (16.1)
то при действительном сo2(i) матрица перехода М оставляет, согласно
(9.8), инвариантной величину
\А\г- |Я|2 = inv. (16.2)
Аналогично для двух связанных осцилляторов, описываемых системой (14.13),
матрица перехода оставляет инвариантной величину
|А|г+ |2?l2 = inv, (16.3)
где А, В - коэффициенты при "квазинормальных" ко-
лебаниях X, Y. Приведенные инварианты можно получить непосредственно из
дифференциального уравнения, описывающего процесс. Покажем это.
Так как со2 действительно в (16.1), то х* - также решение
х* + a*(t)x* - 0. (16.4)
Умножая (16.1) на х*, а (16.4) -на г и вычитая, на-
ходим известный инвариант
dixx* - x*x)/dt - 0. (16.5)
Подставляя в (16.5)
х = Лсо_1/г exp J со (f) dt j + i?co~1''2 exp ^ - i J со (t) dt
(16.6)
придем к закону сохранения (16.2). Аналогично поступим в случае двух
связанных осцилляторов:
х + а\х = а у, у + а>\у = ах, ^
х (?>1х* = а у*, у* + а>\у* = ах*.
57
Отсюда
d (хх* - х*х -f уу* - y*y)/dt = 0. (16.8)
Подставляя в (16.8) х, у из (14.16), где
получаем закон сохранения (16.3).
Теперь естественно возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться законами
сохранения для сшивки асимптотических решений, поскольку, они следуют
сразу, как только записаны дифференциальные уравнения. Мы покажем ниже,
что это не только возможно, но и приводит к ряду упрощений. Ограничимся
для краткости только случаем двух связанных осцилляторов. Закон
сохранения (16.3) накладывает ограничение унитарности на матрицу
перехода. В соответствии с формулами (15.8) имеем
где a, ji - неизвестные коэффициенты сшивки. Условие унитарности М
означает ММ+ = 1, откуда следуют четыре уравнения:
ре-в + а*(1 + сср)ев = 0, р*е~в + а(^ + а*$*)е6 - 0.
Решая (16.10), получаем уже известные нам выраже-
Преимущества. предложенного вывода заключаются в том, что мы сократили
вдвое число неизвестных коэффициентов сшивки и нигде не пользовались
видом предэкспоненты.
(16.9)
lpi2+ II + оф12егв = 1, |а|2 + е-2" = 1)
(16.10)
ния
а = -р* = ге'"(1 - е~гйУ/г.
(16.11)
58
Резюмируя результаты этого параграфа, можно утверждать, что для склейки
асимптотических решений во всех рассмотренных случаях достаточно написать
ВКБ-решение только в нулевом приближении. Но эт^ означает, что мы
пользуемся только характеристическим уравнением системы, которое имеет
тот же вид, что. и в случае уравнения с постоянными коэффициентами.
Приведенные выше результаты допускают обобщение и для систем более
высокого порядка. Подчеркнем, что знание вида предэкспоненты необходимо
для построения решений и не нужно для склейки решений.
Глава III
НЕДИАБАТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ § 17. Введение
В этой главе рассмотрим переходы в двухуровневой квантовой системе [1] на
основе адиабатической тео^-рии возмущений (см. гл. 1, § 2). В качестве
примера обсудим неупругое столкновение двух атомов (столкновение второго
рода), сопровождающееся переходом энергии возбуждения от одного партнера
к другому. Предположим, что два электронных терма пересекаются в
некоторой точке R0. Можно ожидать, что именно в этой точке (точке
совпадения значений потенциалов -ЕЛ = ЕЛ) вероятность перехода
максимальна, так как здесь переход мог бы осуществиться классическим
образом.
Выделим пз системы (2.4) два уравнения, для которых предполагается
пересечение термов, и представим их в следующем вид,е:
(П2/2М) и[ + (Е + Fxx) их + аи2 = О,
" (17.1)
(Й2/2М) щ + (Е + F2x) и2 + аи1 = 0.
Здесь а - матричный элемент взаимодействия, Ft и F2 - силы в точке х - 0
пересечения термов; Е - энергия, отсчитываемая от этой точки.
