Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
а "крест" означает операцию транспонирования и комплексного сопряжения.
Для особых точек типа точек поворота (14.9) матрица перехода получена в §
9. Она действует только на пересекающиеся решения и оставляет другие без
изменения. Наедем матрицы' перехода для случая
(14.10).
С точностью до членов порядка имеем из (14.14) Х± ~ exp j± г J'QX (t) dt
j,
(15.4)
Y± ~Q^1/2exp j± г j Q2(t)dt
51
Представим
Qt s (Q, + Q2)/2 + (fl, - Q2)/2,
(15.5)
Q2 = (Q4 + Qs)/2 - (Qi - Й")/2.
В окрестности резонансной области с й, = й2 множитель, exp |± i | dt (Qx
-f- Q2)/2| в решениях (15.4)
можно рассматривать как коэффициент при решениях. Ограничимся изучением
случая, когда Qi - Q2 имеет точку ветвления в комплексной плоскости, т.
е.
Qi - Й2 = (т2 + f)'hf(t), (15.6)
где fit) аналитична в области обхода особых точек. Вблизи резонанса
зацепляются пары (Х+, У+) и
(Х-, Y-) (см. рис. 9). Каждую из этих пар решений можно рассматривать
независимо. Линии уровня, согласно (15.6), ведут себя так же, как на рис.
3, в, обозначениями которого мы и воспользуемся. Пусть на действительной
оси справа от резонансов задано
= exp ji J dt (Qx -J- Qa)/2j x X |л1?271/а exP ^ i J dt(Qi -Qa)/2^ +
-)- А20.^1,г exp | - i<^dt(Q1 - Qa)/2^|. (15.7)
Согласно (9V7), на действительной оси слева от резонансов имеем
Ai = Аге 6 -J- сс1Л2; А2 = ^±А± -f- (1 -f- сс^) евА2, где (15.8)
26 = i ф dt (Qx - Q2)/2 > 0. (15.9)
&
Завершая обход, приходим в исходную точку с коэффициентами
= Аге -)- <х2А2, А2 = Р2Ai + (1 + агРа)
(15.10)
52
Проследим теперь за предэкспоненциальными множителями в (15.7). В
результате полуобхода - й2 меняет знак и, следовательно, 2 переходит
соответственно в 02,1. Полный обход не меняет предэкспонент. Отсюда
Al=Alt Al = Ai. (15.11)
Учитывая (15.8), (15.10), (15.11), получаем уравнения
для определения а1|2, Pi,2
е~26 + a2^i = 1, а2(1 + a^i) + a,ie~26 = 0,
(15.12)
pt(l + а2{3.2) + Р2е-26 = 0,
ai[i2 + (1 + a^Hl + а2р2)е26 = 1.
Решение системы (15.12) дает
а, = _"2 = а = ieH 1 - е-2в)'\ (15.13)
¦Р. = - Рг = Р = ie~41 - е-и)'!\
где ф - неизвестная фаза и учтено, что а = - [}*. Согласно формулам
(15.8), нетрудно записать матрицу перехода
" /"-(.-ГГ.Л /Р '"'Y (15.14,
^ -" и* (1 - е"")1/! ) \<Г* а)
Эта матрица определяет связь
(15.15)
BJ \А2/ где Bii - коэффициенты соответственно при ¦exp |t j* 01>2c?i|.
Для второй пары решений (X-, У_)
правила прохождения через резонанс определяются из
(15.15) с добавлением операции комплексного сопряжения. Матрица
перехода удовлетворяет условию унитарности
ММ+ = М+ = 1 (15.16)
и определяет инвариант
53
u,|2+ u2|2 = |Я,|2+ |52l2 = inv. (15.17)
С точностью до множителей e±i<r матрица перехода М определялась в [6],
однако метод ее определения не является корректным. Полученные в работе
[6] решения имеют предэкспоненту, отличающуюся от действительной (см.
(15.4)). Как будет видно ниже, это замечание окажется существенным при
выяснении физического смысла закона сохранения (15.17).
Аналогичным образом нетрудно найти матрицу пе-рэхода для резонанса типа
(14.11), когда Q, = - [16]. Мы приведем окончательный результат без
вывода
а контур 9? охватывает обе точки, в которых Q! =
Физический интерес представляет случай, когда решение (15.1)
действительное. Переобозначая для удобства
можно записать соответственно для случаев Q, = Q2 и
(15.18)
где б определяется уравнением
(15.19)
1 -
В = MiA, В = М2А,
(15.20)
)
в+ = (дГ,д;,да,д1),
54
мг
е гч>1 cos ах i sin ах i sin ах е,фх cos О О
О О
О О
О О
егч>1 cos i sin о1
i sin е-гч>1
cpsaj
(15.21)
-гф2
COS Oo
о
о
i sin o2 0
cos a,
i sin a2 0
О егч>2 cos a2
0
i sin a2 0
s sin a,
cos a,
2
(15.22)
Здесь использованы обозначения
-в,
sin dj = е !,
sin a, = e (r)2,
(15.23)
л 6lt S2 определяются соответственно формулами
(15.9) и (15.19). Если мы проходим последовательно оба резонанса, то
В = ВДА. (15.24)
Из унитарности матриц Ми М2 следует инвариантность величины
АА+ = ВВ+ = \А1\г + \А2\2 - I5J2 + \В2\2 = inv =? /.
(15.25)
Нетрудно выяснить физический смысл полученного закона сохранения. Для
этого введем амплитуды а{ "ква-зинормальных" колебаний X, Y, которые,
согласно <(15.4), равны
a{ = ^i/Q|/2. (15.26)
Тогда из (15.25) следует
I = fija.l2 + Q2\a2\2 = EJQ, + EJ Q2 = h + /" (15.27)
где Ei, E2 - соответственно энергии X-, Y-колебаний.
Таким образом, адиабатический инвариант рассматриваемой системы равен
сумме формальных адиабатических инвариантов в каждой из подсистем. Слово
"формальный" означает, что величины порознь могут не сохраняться.
55
Полученный результат без особого труда обобщается на случай системы
связанных осцилляторов с п степенями свободы. При этом предполагается,
что в системе существуют резонансы только рассмотренного типа и
расстояние между ними достаточно далеко. Тогда можно записать
В = (Пмй)а, (15.28)
где матрицы Mik, соответствующие резонансу ?2; = перемножаются в порядке
следования резонансов при движении в положительном направлении оси t.
