Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров В.Д. -> "Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна " -> 9

Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.

Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна — М.: Наука, 1972. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionniyvolni1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 68 >> Следующая


26 2. Приближения высших порядков

Для получения нелинейных приближений уравнений тяготения можно использовать классический метод аппроксимаций Эйнштейна — Инфельда — Гофмана [7], примененный впервые в исследованиях уравнений движения и основанный на разложении потенциалов гравитационного поля в ряд по малому параметру Не (с — фундаментальная скорость) В приложении к проблеме гравитационного излучения этот метод рассматривали Ин-фельд (см. [8]), Фок [9] и Боннор [6, 11]. Разложение по параметру Hc позволяет получить в приближении нулевого порядка уравнения ньютоновской теории тяготения, что, в свою очередь, дает возможность существенно упростить рассмотрение приближений более высоких порядков. Так, подходящим выбором системы координат можно добиться, чтобы в разложении компонент Allv

OO

V = S c~~n V (х*)

п-0 (")

первыми отличными от нуля членами были члены второго порядка малости для компонент A00 и Au- и третьего порядка для компонент А

Соответственно, для компоненты i|)00 первым отличным от нуля членом разложения будет \|)00, для компонент i|)oi—

(2)

члены i|)oi и для i|)u- — члены четвертого порядка мало-

(3)

CTHifiJ. Уравнения поля в приближениях указанных поряд-

(4)

ков принимают вид

Aif00 = 2KT00, Дг|)01 = 2KT0i1 A^ii = 2KTij + Nijl (1.17)

(2) (O) (3) (2) (4) (4) (4)

где NiJ — нелинейные члены, впервые появляющиеся как

аддйвввые добавив к ,левам ,тертого ворядк, „алосв.

Аналогичные уравнения, как показал Гупта [10] (см. также Боннор [11]), можно получить в приближении и-го порядка малости с помощью другого метода, основанного

Формальной процедуре разложения по параметру Hc отвечает фактическое разложение по безразмерному параметру типа UJc21 где U — ньютоновский гравитационный потенциал, или по

2Ic21 где V — скорость движения одного из тел, образующих систему источников.

27 на разложении метрики ga? и тензора энергий — импульса Ta? в ряд по параметру X (гравитационной постоянной):

OO OO

(OO) ^n

ga? (Х°, X) = ga? + S bnAa?. (Х°, X) = S ГГаз

Ti=I (n) Ti=O <n>

гДе Aa? и Ta^ не зависят от X. Подставив эти разложения в

(П) (п)

уравнения поля, можно представить последние в форме равенств нулю аналитических функций, разложенных в ряд по X. Приравнивая к нулю выражения, играющие роль коэффициентов по Xn1 мы получаем уравнения тяготения в приближении тг-го порядка. Воспользовавшись снова определением (1.10) для компонент Ifa?, запишем (для п > 2) уравнения

Aifa3 = 2 [Ta?-NafA, (1.18)

(П) (71-1) (П)

где через Na^ обозначены нелинейные члены, зависящие

(п)

только от комбинаций ifa? низшего порядка малости, чем п, и не зависящие от i|)a? и X. Уравнения (1.18) по опреде-

(п)

лению принимаются за уравнения тяготения Эйнштейна в приближении га-го порядка (Хавас и Гольдберг [13, 14]).

В приближении произвольно высокого порядка уравнения типа (1.17) — (1.18) уже нельзя, вообще говоря, интерпретировать как волновые. Однако в случае островного распределения материи естественно предположить, что классическое понятие массы — энергии системы источников, используемое в линейном приближении, может быть применено и в приближениях более высокого порядка. Приняв это предположение, можно, исходя из решения уравнений тяготения произвольно высокого порядка, оценить соответствующее изменение энергии системы за характерный промежуток времени (например, за полный период 2в-мультипольных осцилляций) с помощью псевдотензора энергии — импульса, определяющего перенос энергии гравитационными волнами в линейном приближении (Эддингтон [15], Ландау и Лифшиц [16]).

Другим методом оценки потерь энергии Am=Tii2—Trt1 может служить сравнение с полем Шварцшильда, если стационарные состояния системы в моменты J1 и J2 > отвечающие значениям массы можно описать решением Шварцшильда. Этот метод применим, очевидно, только

28 к таким распределениям источников (и таким системам отсчета), которые допускают переход к метрике Шварцшильда на достаточно больших расстояниях от системы источников поля. Тогда изменение Am массы системы за период осцилляции AJ = J2 — J1 можно интерпретировать как следствие переноса энергии гравитационными волнами.

С этой целью Боннором и Ротенбергом [17, 18], в применении к источникам островного типа (в вакууме Та$ = = 0), был предложен так называемый метод двухпарамет-рических аппроксимаций, обобщающий изложенный выше метод разложения метрики в ряд по степеням гравитационной постоянной. Если в качестве параметра вместо гравитационной постоянной rK использовать величину т, характеризующую полную массу системы, а в качестве еще одного параметра, естественно возникающего при определении мультипольных осцилляций системы, выбрать характерный параметр системы а с размерностью длины, то решение уравнений тяготения, разложимое в сходящийся ряд Тейлора по т и а в окрестности т = 0 и а = 0, может быть представлено в виде

00 °° (Ps)

ga? = S S mPJPga?, (1.19)

P=O 8=0

(ps)

где коэффициенты ga ? не зависят от т и а. Обычное разложение по степеням гравитационной постоянной 1K эквивалентно разложению по единственному параметру т (® = 0).
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed