Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
W^1* =
Умножим эти уравнения на rjea?Y. В силу тождеств (1.7) получим следующий результат:
^ WX;-о,
откуда
т. е. Za удовлетворяет условию (1.13), что и доказывает лемму.
Заметим, что в формулировке леммы существенно, что Icl свертывается с i?a?Y5 по одному из индексов первой пары, в силу неравноправия пар индексов a? и уб, следующего из определения (1.1). В случае же пространств Эйнштейна, в силу теоремы 1, пары индексов равноправны, и условия Za *#a?Yg = О и Za ?yba?= О становятся эквивалентными.
Теорема 2. В пространствах Эйнштейна (3.7) уравнения
гпа Pv8 = 0 (1-16)
эквивалентны уравнениям X a?YB
+ Wy8 +Wtoib-0' (ЫТ)
Доказательство. Пусть в существует вектор Za, удовлетворяющий уравнениям (1.16); покажем, что он удовлетворяет также уравнениям (1.17). Умножив исходные уравнения lbRpGy§ — О 1
на 2" Vps' полУчим;
^iW=0' (Ы8)
Вследствие теоремы 1 тензор */?jJlVYO симметричен по парам индексов |XV и уб, и из (1.18) следует, что
(I.1O)
Но, согласно лемме, условие (1.19) эквивалентно условию (1.17), что и доказывает первую половину теоремы 2.
179 Обратно, пусть в * Tx некоторый вектор Iа удовлетворяет уравнениям (1.17). Согласно лемме, он удовлетворяет уравнениям (1.13); но, в силу теоремы 1, эти уравнения эквивалентны следующим:
^y8=O,
т. е.
1^Wa = 0- (1'2°)
Умножая (1.20) на г}"^ и используя тождества (1.6), получим:
CWa = 2Wa = 0-
т. е. вектор Icl удовлетворяет также уравнениям (1.16). Таким образом, теорема 2 доказана.
Теорема 3. В пространствах Эйнштейна (3.7) имеет место тождество:
?P°^a?Y&;oo + Ra?o-Rybp- +
+2 - +x*a(5Y8)=о. (1.21)
Доказательство. Ковариантно дифференцируя тождества Бианки
Ra?yb;p + ROL?bp-,y + Ra?py,b = 0 (1'22)
и умножая получившиеся равенства на тензор gp0, получим:
SpX3Y8; PO + ~ = d-23)
Используя затем дифференциальные тождества Риччи (см. [9], стр. 209) в применении к тензору Римана:
2/?a?v5,[ро] = jftXavS Rpaa. + RabybR'pa?- + Ra?URpoy. +^a?vARpot->
(1.24)
выражаем второй и третий члены в (1.23) соответственно через Ra.?b-; Oy и K?l; о5' а также члены, квадратичные относительно тензора Римана (и по содержащие производных от #a?Y5). Учитывая, далее, тождество
^;а.;а = 2Лу[а;@], (1.25)
вытекающее из тождеств Бианки (1.22), убеждаемся, что в пространствах Эйнштейна (3.7)
= (1.26)
Используя соотношения (1.26), аннулируем в полученных равенствах члены вида и R'a?y--ob 11 ПРИХ°ДИМ к соотно-
шениям (1.21). Теорема 3 доказана.
180 ПРИЛОЖЕНИИ II
Приведем в развернутом виде волновые уравнения (12.34) — (12.36) для хронометрически инвариантных компонент Xі*, Yjjk и ZiJkl тензора Римана. Используем для этой цели общековариантное определение гравитационных волн Зельманова:
^Wp = 0- ("-I)
Система двадцати уравнений (II.1), очевидно, эквивалентна следующим трем системам уравнений, первая из которых состоит из шести, вторая — из восьми и третья — из шести уравнений:
= ^OOii0O + ^ooiyirU = ("-2)
SapKtia; = К + = (II.3)
8арП*%вр = Rkiill0Q + Rkiilinn = 0. (II.4)
Запишем каждую из трех систем уравнений в хронометрически инвариантном виде. Для этого воспользуемся определениями (12.13), а также формулами для хронометрически инвариантного и прост-ранственно-ковариантного дифференцирования (см. гл. И).
Расписывая почленно уравнения (II.2) и выражая каждый член через соответствующие хронометрические инварианты, получаем следующие уравнения:
(*Vn - Я*' + 2 (*Vn - Fn) \Y'?j) Ф™ + Anm)] -- [Fn\nXiS + D*dX1' + (Din + А?)*дХп' + (D1n + А'?)*дХпі\ +
+ (*д + D) [2FnY$? - Zni (D>n + A'l) - Xnf (Din H- <)] + + 2 (Dnm + Anm)*vY?» + 2Fn - YmM (D" + Anm)] +
+^n [(?++та+(К + <.) Vnm:1+y;iw)i -
- 2Dn [Xni (Dln + A'l) + Znj (Dln + A«u)] -- 2Xnm (Din + A'l) (Dln + A^) + 2XiJ (DklDkl + AklAkl- F/) +
+ 2FnVxVn + 2Zn^] IFnFm - (Dln + Aln) (If* + A\m)] = 0.
(II.5)
Здесь Fii DiJ, Aij — введенные в гл. 12 вектор гравитацион-но-инерциальной силы, тензор скоростей деформаций и тензор угловой скорости вращения трехмерного пространства данной системы отсчета S относительно локально сопутствующей геодезической системы S0 [205]. Несмотря на громоздкий вид этих уравнений, каждый из входящих в них членов имеет довольно ясную физическую интерпретацию. Очевидно, первый член представляет собой результат действия на хронометрически инвариантную волновую функцию волнового оператора (12.21). Укажем физический
181 смысл еще некоторых хронометрически инвариантных операторов, входящих в уравнения (II.5). Так, релятивистский оператор
V — F.
Vi г>
свернутый с некоторым хронометрически инвариантным трехмерным вектором Ji, дает выражение «физической дивергенции» вектора Ji, отличие которой от математической дивергенции обусловлено тем, что в различных точках границы элемента трехмерного объема величина dx хронометрически инвариантного промежутка времени
Vsoo
различна при одной и той же величине dt. Релятивистский оператор «физического дифференцирования» по времени *д + D отличается от математического (хронометрически инвариантного) оператора дифференцирования по времени *д тем, что в нем учитывается деформация со временем пространственной координатной сетки, в которой задана дифференцируемая функция.
