Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, кроме того, некоторые принципиальные черты взаимосвязи теории гравитационных волн с физическим экспериментом.
Постановка эксперимента должна опираться на определенные допущения, без которых невозможно интерпретировать экспериментальные данные. Так, операция измерения (сравнения длины с эталоном), лежащая в основе эксперимента, опирается на задание способа отождествления однотипных объектов. С этой точки зрения принцип относительности, лежащий в основе физической теории, предшествует эксперименту (см. [257]). Поэтому теоретическую формулировку концепции гравитационных волн можно рассматривать как исходную посылку в интерпретации результатов эксперимента.
В этом отношении существенным недостатком рассмотренных выше концепций гравитационных волн является их внутренняя неполнота, следствием которой и является множественность и разноречивость критериев, свидетельствующая о недостаточно высоком уровне самих теоретических представлений в данной области.
Так, наиболее известный из этих критериев — критерий Лихнеровича — содержит уже в самой своей формулировке произвол и несоответствие с исходными предпосылками. Согласно основному исходному предположению, гравитационная волна характеризуется разрывами производных вида ga,оо на характеристической гиперповерхности в той системе координат, где последняя выражается уравнением (2.15). Однако можно указать примеры полей тяготения,
175 удовлетворяющих критерию Лихнеровича, для которых компоненты метрики ga$ являются гладкими функциями координат, и, следовательно, их производные нигде не могут иметь разрыва Адамара. Примером может служить метрика Петрова
ds2 = 2dx°dx1 — Sh2 я0 dx2 2 - sin2 я0 dr3 2, для которой
даф = 6?ga? = gla,
т. е. ф — х° + const. Очевидно, на поверхности «фронта волны» (я0 = const) компоненты тензора кривизны
#0202 ~ — Sh2 X0, R0303 = sin2 X0
не могут иметь разрыва Адамара.
Указанный недостаток относится и к другим рассмотренным выше ковариантпым критериям гравитационных волн, в основу которых положено понятие разрыва Адамара компонент тензора Римана.
Подводя итоги, можно сказать, что в настоящий момент проблема гравитационных волы как в теоретическом, так и в экспериментальном плане весьма далека от окончательного разрешения. Но она остается одной из наиболее актуальных и принципиально важных проблем не только теории тяготения, но и всей современной физики и привлекает к себе все большее внимание исследователей. Поэтому можно ожидать, что эта проблема получит изящное разрешение и займет достойное место в стройной картине эйнштейновской теории тяготения. ПРИЛОЖЕНИЕ I
Докажем некоторые теоремы, использованные в тексте. Пусть і?арї5 — тензор Римана пространства F4, антисимметричный по каждой из пар индексов a? и уб. Введем два сопряженных ему тензора
1 1
~ ~2~ 1Wpo ^"Y5' ^a?Y? = ~ 1fKfcpcJ ^-a?* (1,1)
Из определений (1.1) очевидным образом следует, что
*Ra ?t? = Kboi?- (1-2)
Теорема 1. В пространствах Эйнштейна имеют место соотношения
=*Av5a?" (!-З)
Доказательство. В силу (1.2) условие (1.3) эквивалентно условию
= (1-4)
Следовательно, для доказательства теоремы достаточно доказать формулу (1.4). Воспользуемся для этого соотношениями ([172], стр. 25, 300):
^rlnapy =-0?, (1.5)
= (1.6) ЧяреЧРеа = - 6?, (1.7)
где тензор 0?^'.'" — обобщенный символ Кронекера, подчиняющийся следующим правилам: если jn, v, a, ... все различны и X1 ?, у, ... получаются из них некоторой перестановкой, то он равен J^l1 в зависимости от того, четной или нечетной является подстановка XQy - ' ' а в остальных случаях он равен нулю. Умножая обе части равенства
1 з
*^pavX = ~ "Hpoa? vX 1
на — у Tj^epo, получаем, в силу соотношений (1.6),
- 4- Tftpo^w=-т =
Свертывая по индексам 8 и v, находим отсюда
Tt^7W (1-8)
Умножая (1.8) на ^a?t» заменяя индекс К на б и используя соотношения (1.5), имеем:
1
"Vx?Y^ 1Г ^a?v* ^povS =
_ J- ******
Следовательно, в пространствах Эйнштейна (3.7)
3*^[a?Y]5 = *V?YO? = Wba?r • (1-9)
Переписывая (1.9) в виде
3*A[?a5]Y ^ XTfea?Y
и складывая, получим:
2**a?Y8 = *Ky?b + *«?Say + *A«5v? + *ЯФ*Ь + 2^Sap. . (1-Ю) Переставим местами в (1.10) индексы а и у, а также ? и б:
2*Лї8ар +*Rma + **v?a8 +*яаь.ф +2хгіБаРї. (1.11)
Сопоставлением (1.10) и (1.11) убеждаемся в справедливости соотношений (1.4), что и доказывает теорему.
В соответствии с этой теоремой в пространствах Эйнштейна принято обозначать
* *
*R<x?yb = ^OL?yb — ^OL?yb- (1-12)
Лемма. В пространствах V4 уравнения
'a*Aa?v5=0 (1-13)
эквивалентны уравнениям
Wa?rt + Wf&tb + *?AXav5 = С'14)
Доказательство. Пусть в ^существует вектор Z0S удовлетворяющий уравнениям (Г.13). Умножая уравнения (1.13) на tl^?v» имеем,
178 в силу соотношений (1.5),
1 v о 1VO
= - (*«*?YXT + ^YaXx + VW = (L15>
т. е. Za удовлетворяет также уравнениям (1.14).
Обратно, пусть существует вектор Za, удовлетворяющий уравнениям (1.14); покажем, что он удовлетворяет также уравнениям (1.13). Проделывая выкладки (1.15) в обратном порядке, получаем соотношения, эквивалентные первоначальному условию:
