Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В силу своей структуры оператор (8.14) применим только к косым полилинейным дифференциальным формам. Рассмотрим, например, его применение к билинейной косой форме
F = (8.15)
где Fafl — тензор электромагнитного поля. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в области, где нет источников, можно записать в виде двух групп уравнений [123]:
d F = 0, б F = 0, (8.16)
из которых вытекает, что 2-форма F удовлетворяет обобщенному волновому уравнению
№ = 0. (8.17)
Впервые уравнение (8.17) было получено Толмэном [63], Заметим, что, в отличие от оператора (7.1), оператор (8.14) обладает рядом преимущественных топологических [42] и групповых [124] свойств. Идея применения этого оператора к исследованию гравитационных волновых полей принадлежит Лихнеровичу [43].
Для описания гравитационных волн в терминах тензора Римана Ra^yb строится четырехмерная квадратная матрица У Qa ? II, элементами которой являются билинейные косые формы вида
Qa? - Y Ra;^ dxv Д dx* (8.18)
(«2-форма кривизны» по терминологии Лихнеровича [125]).
Согласно определению Малдыбаевой, пустое пространство — время с тензором Римана Ra^yb определяет гравитационные волны, если соответствующая ему 2-форма кривизны Qa ? удовлетворяет обобщенному волновому уравнению
AQa3 = 0, (8.19)
где оператор А определяется формулой (8.14), а 2-форма Qa? — формулой (8.18).
95 Выразив оператор А через ковариантные производные с помощью формулы де Рама [42], запишем уравнения (8.19) в тензорном виде:
DAa?,6 + 2Rpyb, R^. = 0, (8.20)
где оператор D определяется формулой (7.1).
Обобщая рассуждения на случай пространств Эйнштейна (3.7), получаем уравнения
DAa?vS 2Apy5т Rafc — 2%Aa?Y5 = 0. (8.21)
Используя тождество (7.8) и записывая уравнения (8.21) в каноническом орторепере, можно показать, что они удовлетворяются тогда и только тогда, когда тензор Римана принадлежит к вырожденному второму типу по Петрову (типу N диаграммы (3.20) при к = 0, см. [126]).
Итак, критерию Малдыбаевой удовлетворяют пространства Эйнштейна вырожденного второго типа T2, и только они. Таким образом, в пространствах Эйнштейна критерии Зельманова и Малдыбаевой выделяют один и тот же класс полей тяготения; исключение составляют симметрические пространства (7.12) типа N, удовлетворяющие критерию Малдыбаевой, но не критерию Зельманова.
4. Критерий Мизры и Сингха
Критерий гравитационных волн, данный Мизрой и Сингхом [127, 128], опирается на понятие изотропного гравитационного поля, определяемое с помощью рассмотренных нами выше симметричных тензоров Матте (5.10) и (5.11). Как нетрудно убедиться, перейдя в систему координат, где Za = ба, ранг каждой из матриц || || и P ^ai I не превышает 3. Далее, тензоры ^ax и ориентированы в пространстве:
^axWx= 0, Q0
Ж.Х«* = 0. (8-22)
Таким образом, тензоры ^a ? и Жа ? в известном смысле аналогичны трехмерным векторам Ei и H1 электрического и магнитного полей [82]. Благодаря этому удается построить определение изотропного гравитационного поля, опи-
96 раясь на аналогию с изотропным электромагнитным полем (гл. 4).
Изотропное гравитационное поле в этом подходе характеризуется, во-первых, совпадением собственных значений матриц Il <оах Il и І Ма\ II (аналогия с совпадением модулей векторов электрического и магнитного полей), а во-вторых, — тем, что одно из собственных направлений является общим для обеих матриц (аналогия со взаимной ортогональностью трехмерных векторов E1 и Hi). Введя третье требование—равенство нулю собственных значений матриц || || и I Ма\ ||, придем к критерию Мизры — Сингха: пустое пространство — время F4, обладающее тензором Римана i?a?Ylx, описывает гравитационные волны в том и только в том случае, когда тензоры (5.10) и (5.11) удовлетворяют соотношениям
gaXrX = MCL (8.23)
M???Y = М^М\М^ = 0. (8.24)
В своем исследовании свойств полей тяготения в пустом пространстве, удовлетворяющих данному критерию, Мизра и Сингх доказывают две важные теоремы. Первая теорема утверждает, что пространство — время, удовлетворяющее этому критерию, допускает существование изотропного векторного поля Za, для которого выполняются условия
#a?v [sZx] Zy = 0. (8.25)
Но, согласно известному результату Дебеве [66] и Беля [80] (см. гл. 3, п. 4), пустое пространство — время F4, определяемое условием (8.25), может принадлежать только к типам N или III диаграммы Пенроуза (3.20).
Вторая теорема утверждает следующее: для того чтобы пространство — время F4 описывало гравитационные волны в смысле Мизры — Сингха, необходимо и достаточно, чтобы его тензор Римана удовлетворял уравнениям
H<x?yb Ryb^ R\Lvpa = 0. (8.26)
Записывая эти уравнения в каноническом орторепере для канонического вида матрицы тензора Римана, вновь убеждаемся, что они всегда удовлетворяются для полей типов N и III диаграммы (3.20), и только для них.
4 В. Д. Захаров
97 Таким образом, для того чтобы пустое пространство — время V4 удовлетворяло критерию Мизры — Сингха, необходимо и достаточно, чтобы оно принадлежало к типу N или III по Петрову. Следовательно, критерий Мизры — Сингха эквивалентен второму критерию Беля.
