Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
4. Связь между критериями Зельманова и Лихнеровича. Примеры
На основании алгебраической классификации Петрова нетрудно выяснить, как связаны между собой критерии Зельманова и Лихнеровича в случае пустых F4. Мы уже знаем, что свободные гравитационные волны в смысле Лихнеровича отвечают полям типа N на диаграмме Пенроуза. Следовательно, любое пустое V4, удовлетворяющее критерию Зельманова, удовлетворяет и критерию Лихнеровича. Обратно, любое пустое F4, удовлетворяющее критерию Лихнеровича, за исключением двух пространств (7.12), удовлетворяет критерию Зельманова.
Для пространств F4 общего вида (i?a? Ф Kga ?) вопрос об общей связи критерия Зельманова с классификацией Петрова, а также с критерием Лихнеровича пока остается невыясненным. Однако уже сейчас можно утверждать, что существуют поля тяготения вида Rafi Ф Kga ?, удовлетворяющие критерию Зельманова. В работах [102, 103] приводится ряд таких решений уравнений Эйнштейна с не равной нулю правой частью
Ba?-*-Rga? = -l ra?, (7.13)
интерпретируемой как тензор энергии — импульса изотропного электромагнитного поля.
Условие изотропности электромагнитного поля t^jxv, сформулированное в гл. 4, налагает жесткое ограничение на тензор энергии — импульса Ta?, а следовательно, в си-
88 лу уравнений поля (7.13), на тензор Риччи пространства — времени. Для того чтобы метрика g^v пространства — времени описывала поле тяготения с тензором энергии — импульса изотропного электромагнитного поля, необходимо и достаточно, чтобы отвечающий ей тензор Риччи удовлетворял следующей совокупности условий: алгебраическим условиям Райнича — Уилера [36]
R = О, RapRp*= = 0 (7.14)
и дифференциальным условиям Нордтведта — Пагельса [104]
Tla^ (i??v; e R^y - R^) = 0. (7.15)
В свою очередь, существование фронта электромагнитной волны в ряде случаев [103, 105] приводит к дополнительному свойству симметрии пространства — времени F4, интерпретируемому в терминах групп движений данного F4 (непрерывных групп преобразований координат, сохраняющих функциональный вид метрики, см., например, [58, 106]). А именно, метрики таких F4 допускают г-пара-метрические группы движений Gr (1 ^ г ^ 6), оставляющие неизменными изотропные трехмерные гиперповерхности *F3, служащие поверхностями волнового фронта. Если любая точка некоторой поверхности в F4 преобразованиями группы Gr может быть переведена^в любую другую точку этой поверхности, то последняя называется поверхностью транзитивности группы Gr. Таким образом, изотропные поверхности транзитивности групп движений, действующих в таких полях тяготения, либо совпадают с фронтом электромагнитной волны, либо (при г 3) принадлежат ему.
Приведем некоторые метрики, удовлетворяющие условиям (7.14) — (7.15), т. е. описывающие поля тяготения, порождаемые электромагнитным излучением, и, соответственно, допускающие группу движений Gr (г > > 3), действующую транзитивно на изотропной гиперповерхности волнового фронта [103]:
1) Пространство — время, описываемое интервалом
ds2 = 2dx°dxx+ ос (х°) dx2 2 + 2? (х°) dx4c3-f г (х°) dx3 \
(7.16)
89 допускает группы движений G3, G4 и G5, действующие на изотропных трехмерных гиперповерхностях транзитивности *V3 (здесь (XY — ?2 > 0).
2) Пространство — время, описываемое интервалом
ds2 =djL°2 -dx12 - 2хЧх2 (dx° + dx1) +
+ a {x0+ Xі) (dx2 2 + dx32), (7.17)
допускает группу движений G4, действующую транзитивно на изотропной гиперповерхности *F3. Требование положительности плотности — давления электромагнитного излучения, jR00 < 0, при лоренцевой сигнатуре в точке налагает на функцию а следующие условия:
a<0« O2-2aS^-1 с»=*0+*1)-
3) Пространство — время, описываемое интервалом ds2 = du dv — 2хЧи dx2+ a (и) dx2 2 + 2? (и) dx2dx3 +
+ Г (u)dx*\ (7.18)
иными словами, пространство — время с метрическим тензором
(7.19)
допускает группу движений G3, действующую на изотропной гиперповерхности транзитивности*V3. Требование R00 < О при лоренцевой сигнатуре приводит к следующим условиям на входящие в решение (7.19) функции:
ос < 0, /и> О,
где т = ау — ?2. Этим условиям, очевидно, без труда можно удовлетворить выбором подходящих функций а, ?, у.
Прямой проверкой легко убедиться, что метрики (7.16)— (7.19) удовлетворяют критерию Зельманова. Кроме того, как показано в работе [107], пространства F4 с такими метриками допускают изотропное векторное поле Za = 6J,
90 удовлетворяющее уравнениям (6.10) — (6.11), т. е. описывают гравитационные волны и в смысле Лихнеровича.
Однако существуют решения уравнения тяготения (7.13) с Ta?=?=0, которые удовлетворяют критерию Лихнеровича, но не удовлетворяют критерию Зельманова. Примеры такого рода решений, полученных в работах [91, 107, 108], будут рассмотрены в гл. 10.
ГЛАВА 8
ДРУГИЕ КРИТЕРИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
1. Критерий Дебеве
Подход Дебеве к вопросу о волновых свойствах гравитационный полей основывается на их связи в пустом пространстве — времени с изотропными векторными полями.
Как известно из работ Дебеве [66, 81, 109], Беля [80], Сакса [110] и др., в пустом V4 тензору Римана можно сопоставить две изотропные двумерные гиперповерхности, в совокупности натянутые в каждой точке на четыре изотропных вектора: 1*n)(N =1, 2, 3,4). Пользуясь каноническим видом матрицы тензора кривизны в бивекторном пространстве I Rab II, можно показать, что в каждом пустом V4 существует по меньшей мере одно и не более чем четыре изотропных векторных поля Z(W) ф 0, удовлетворяющих уравнениям
