Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в рассматриваемой области пустого пространства — времени введена гармоническая система координат. Тогда в выражениях (7.5) члены Z/aPYs и Qa?yb тождественно исчезают. Предположим далее, что выбранная система координат является локально геодезической в некоторой заданной точке М. Тогда в M, во-первых, член ?2a?Y5 обращается в нуль и, во-вторых, матрица || gpa|| принимает канонический вид, отвечающий сигнатуре ( —, —-,—) пространства — времени. Таким образом, уравнение (7.4), рассматриваемое как система уравнений в частных производных второго порядка относительно компонент риманова тензора кривизны i?a?Ys, является уравнением гиперболического типа.
Рассматривая задачу Коши с начальными данными Aa?Y? и i?a?Y5,o на гиперповерхности S вида (2.16) (в локально выбранной системе координат), приведем систему уравнений (7.4) к виду
S00^Woo + • • • = О,
где точками обозначены члены, не содержащие производных R^a?y5,oo и> следовательно, полностью определяемые начальными данными. Отсюда вытекает, что уравнением характеристик для системы уравнений (7.4) в данной системе координат служит уравнение g00 = 0. Записывая его
85 в общих координатах (аналогично тому, как это было сделано для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве в гл. 2), мы приходим к выводу, что характеристическая гиперповерхность системы волновых уравнений (7.4) совпадает с характеристической гиперповерхностью уравнений Эйнштейна и выражается уравнением (2.15), где функция ф удовлетворяет уравнению эйконала (2.22).
Следовательно, общековариантная система волновых уравнений (7.4) в пустом пространстве описывает распространение разрывов вторых производных тензора Римана Ra^yb вдоль бихарактеристик (изотропных геодезических) уравнений Эйнштейна.
Кроме того, из записи (7.5) можно заключить,что в некоторой системе координат (а именно, гармонической) в пустом пространстве в бесконечно малой окрестности заданной точки M общековариантная система (7.4) принимает вид обычной волновой системы уравнений относительно каждой компоненты тензора Римана
что непосредственно связывает критерий Зельманова с обычным пониманием «локальных волн кривизны» в окрестности точки М.
3. Критерий Зельманова и классификация Петрова
Для определения типа полей тяготения, удовлетворяющих критерию Зельманова, ограничимся случаем пространств Эйнштейна T1:
В пространствах *Th как известно, имеет место тождество [97]
(см. Приложение I, теорема 3). Из тождества (7.8) вытекает очевидный результат: для того чтобы тензор Римана пространства *Tt удовлетворял уравнениям (7.4), необходимо и достаточно, чтобы этот тензор удовлетворял условиям
R'afa-Rybp' + 2 {R'baa.R?w* — Rbo?PRap4. + uRafab) = 0. (7.9) 86
gPaR(t?yb, pa = 0,
(7.6)
(7.7) Записывая условия (7.9) в бивекторном пространстве R9 в каноническом неголономном орторепере и используя канонический вид матрицы тензора кривизны (3.11), (3.14) — (3.18), приходим к следующим выводам [100, 101]. Для пространств *ТХ условия (7.9) приводят к системе уравнений
ai («2 — <*з) — ?i (?2 — ?s) = 0,
Pi (? - <*з) + <h (?2 - ?3) = о
и еще четырем уравнениям, получающимся из приведенных циклированием по индексам 1, 2, 3. Эти уравнения представляют собой записанные в R? условия интегрируемости уравнений
Aa?v*,o =0, (7.10)
определяющих симметрические пространства ([65], стр. 399). При этом новая система уравнений, получающаяся путем ковариантного дифференцирования условий интегрируемости, удовлетворяется тождественно в силу исходных уравнений (7.10). Следовательно, любое пространство *7\, определяемое условиями (7.9), является симметрическим пространством.
Для пространств *Г2 соотношения (7.9) в каноническом орторепере записываются в виде системы уравнений [101], совместной только при условиях
(X1 = a2 = 0, ?i = ?2 == 0, X = 0. (7.11)
Как мы видели, эти условия определяют пустое пространство T2 вырожденного второго типа (тип N диаграммы Пенроуза). Следовательно, пространства *Г2, определяемые соотношениями (7.9), могут быть только пространствами T2 (к = 0) типа N.
Обратно, записывая соотношения (7.9) в каноническом орторепере в бивекторном пространстве Rq и принимая во внимание условия (7.11), можно убедиться, что (7.9) удовлетворяются тождественно, т. е. любое пространство Эйнштейна T2 типа N удовлетворяет условиям (7.9).
Наконец, записывая условия (7.9) в каноническом орторепере для пространств *Г3, убеждаемся, что при любом к они приводят к противоречию. Это означает, что пространства *Т3 не могут удовлетворять условиям (7.9).
Как показал Петров [57], существует только два симметрических пространства *Т2; они принадлежат к вы-
87 рожденному типу 2 пространств T2 (и = 0) и в специальной системе координат описываются метриками
ds2 = 2dx^dx1 — sh2 хЧх2 2 — sin2 (х° + к) dx3 2t
2 v^y о (7.12) ds2 - 2dr°Acl + ch2 Л2 2 + cos2 (х° + к) cfc3 2
(к = const).
Таким образом, пространства Эйнштейна, удовлетворяющие критерию Зельманова, могут быть только пустыми пространствами V4 (к = 0) игіша N по Петрову. Обратно, любое пустое пространство — время типа N, за исключением двух симметрических пространств (7.12), удовлетворяет критерию Зельманова.
