Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
flAv = о,
т. е. F4 есть пространство Эйнштейна вырожденного второго типа по Петрову, удовлетворяющее критерию чистого гравитационного излучения Лихнеровича, причем av — изотропный вектор, описывающий распространение фронта гравитационной волны.
Подобно тому, как в электродинамике уравнения
F 1>;т] = О
позволяют выразить тензор Максвелла Fpv через вектор-потенциал A^ и его первые производные, исходные уравнения
= -у- = О
позволяют выразить тензор Риччи через вектор Ox и его первые производные:
R^X = — 2<5X;vl + 2бцбх + -у-и^х.
Зная, что вектор Gv. — градиент, а также используя, по аналогии с электродинамикой, условия типа Лоренца оIJt = 2 х/3, получим волновое уравнение для вектора Gv.:
r4;*? = 0.
Таким образом, вектор бх в пространстве Эйнштейна F4 удовлетворяет условию чисто волнового гравитационного поля по Лихнеровичу, а в конформном ему исходном пространстве F4 описывает гравитационные волны в том же смысле, в каком вектор-потенциал электромагнитного поля удовлетворяет ковариантному волновому уравнению.
82 ГЛАВА 7
КРИТЕРИЙ ЗЕЛЬМАНОВА
1. Обобщенный волнOEой оператор
Критерий существования гравитационных волн, сформулированный в работе [94] *) на основе общей идеи Зельманова, предполагает использование следующего нова-риантного обобщения волнового оператора:
D^-Sp3VpV0. (7.1)
Тогда общековариантное волновое уравнение относительно произвольного тензорного поля в общем случае будет иметь вид
D Qiw: = Kt::, (7.2)
где К*'.'.'. — некоторый тензор, не содержащий производных выше первого порядка от Q*.'.'.- Уравнение вида (7.2) применял То л мэн [63] при описании электромагнитных волн в римановом пространстве — времени.
Очевидно, что однородное уравнение типа (7.2) является тривиальным по отношению к метрическому тензору ga ?, а в случае пространств Эйнштейна — так же и по отношению к тензору Риччи Ra ?. Поэтому возникла мысль связать такое уравнение с тензором Римана i?a?Ys, что и ло предложено А. Л. Зельмановым. Заметим, однако, что уравнение (7.2) относительно тензора i?tt?Y&,
Di?a?v5 = Kafrbi (7.3)
также оказывается тривиальным (т. е. обращается в тождество) в случае симметрических пространств, для которых тензор Римана ковариантно постоянен, Ra^ybtQ = О (при этом, конечно, должно быть Каруь = 0). Кроме того, уравнение (7.3) может обращаться в тождество и при некоторых
г) Первая (предварительная) публикация исследования гравитационных волн на основе волнового оператора (7.1) относится к 1962 г. (см. предисловие Иваненко к русскому переводу книги Вебера [95]). Впоследствии Рой и Радхакришна [96] независимо предложили определять гравитационные волны путем применения оператора (7.1) к тензору кривизны.
83 специальных выборах тензора Ka^yb =f= 0. Так, если взять
Ka?yb = J A' R<x?yb — Ra?oI Rybp* —
2/ peeepwe 0 i peeep p',e°\
то для всех пространств Эйнштейна (3.7) уравнение (7.3) удовлетворяется тождественно [97] (см. также Приложение I, теорема 3).
Таким образом, подходя к представлению о гравитационных волнах на основе уравнения (7.3), необходимо, во-первых, потребовать, чтобы пространство — время F4 не было симметрическим, а во-вторых — задаться выбором тензора Каруь. Критерий Зельманова основан на предположении 1J, что Каруь = 0.
Критерий Зельманова. Пространство — время F4 описывает гравитационные волны в том и только в том случае, когда его тензор Римана Ra&yb 1) не является ковариантно постоянным, т. е. Ra?yb;a Ф 0, 2) удовлетворяет обще-ковариантному волновому уравнению:
DR^yb = O. (7.4)
2. Характеристики обобщенного волнового уравнения
Для физического обоснования критерия Зельманова, имеющего на первый взгляд несколько формальный и искусственный характер, представляется существенным исследование характеристик тензорных уравнений (7.4) как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных, роль которых играют собственно компоненты тензора кривизны Ra?yb*
Как показала Савельева [99], левую часть уравнений (7.4) можно тождественными преобразованиями привести к виду
S Ra?yb) pa =
^a ?yS (Г°) + Qagv8 (Via) +
+ Qa^b(Rl), (7.5)
где введены обозначения:
LoL?yb (Г°) = — [(Г,% — ГРГ^) i?a?a5 + (Г? a — ГРГра) Ra?yb + + (T°? -- TX?) ДаоYfc + (Г% — ГТЬ) Aa?vo + Г°Ra?y8, о],
г) В предположении, что Ka?yb Ф 0, уравнение (7.3) рассмотрено в работе [98].
84 "a?y5 (Гра) = (Пмё^г — fT^C) Ra?at +
+ (?^- + (Г^І- Raatb +
+ g^t — g^rjurjjv) #a?rO — Sriiv(r^Y-ffapaS, » + +
S^ (Г*VY fioc?oS, p. + rvaA<,?Y5t + Tv?AaoYA, V1 Н" ^vS^a?Ya, p)»
@a?yS (Rp) = — [Л? Aa?oS + RaRa?yb + #?Aa0Y5 + Rb^a?ya] •
Здесь, как и прежде, Г° = — ga& Fa?. Мы видим, что в тождестве (7.5) член Z/a?Ys алгебраически выражается через величины Г° и их производные, а следовательно, тождественно обращается в нуль при Г° = 0, т. е. в гармонической системе координат. Член ?a?V5 алгебраически выражается через символы Кристоффеля TjL, следовательно, он может быть обращен в нуль в любой заданной точке пространства — времени. Наконец, член (?a?Ys тождественно равен нулю в пустом пространстве — времени (Ra р = 0).
