Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
3) тензор Hapvb может быть представлен в виде
H a?Xy, = baxl?lp + b?y,lah — — b?\lalp., (6.13)
где
ba-K = bX a, baXZX = 0.
Тогда, свертывая выражение (6.13) с найдем, что тензор На\ = Ha^g№ имеет вид
Hа\ = tlah (t = bl) . (6.14)
На основе приведенных результатов можно сформулировать критерий существования гравитационных волн по Лихнеровичу.
Критерий Лихнеровича. Пространство — время F4 описывает состояние полного гравитационного излучения, если его тензор Римана Ra^yb (Ф 0) образует коэффициенты двойной особой формы, т.е. существует (изотропный) вектор Za ф 0, удовлетворяющий уравнениям (6.10) — (6.11). Если такого вектора не существует, то гравитационное излучение отсутствует.
Тензор Риччи для поля тяготения, удовлетворяющего критерию Лихнеровича, должен, как следует из (6.14), иметь вид
-Ra ? = TZaZ ?. (6.15)
Обратно, из условий (6.15) и (6.10) следуют условия (6.11) и изотропность вектора Za. Соответственно, из (6.15), (6.11) и условия изотропности Za следует (6.10) [62].
3. Критерий Лихнеровича и классификация Петрова
Из формулы (6.15) очевидно, что при т = 0 критерий Лихнеровича определяет гравитационные волны в пустом пространстве — времени («чисто волновое» гравитационное поле). Тогда (см. Приложение I) уравнения (6.10) и (6.11) становятся эквивалентными: из одних однозначно следуют
79 Другие:
l^Ra?bb = О l*Ra?yb = 0. (6.16)
Это означает, что чисто волновое гравитационное поле однозначно определяется любой одной из этих систем уравнений.
Как известно ([62], § 21; [68], § 6), пустое F4 принадлежит к типу N диаграммы Пенроуза, если и только если существует векторное поле Za, удовлетворяющее одной из систем (6.16). Таким образом, все пространства F4 типа N определяют чисто волновые гравитационные поля; обратно, класс полей чисто волнового типа исчерпывается полями типа N.
При т^= 0 в (6.15) мы получаем случай так называемого полного гравитационного излучениях). Классификация полей тяготения в этом случае производится на основе тензора Вейля (3.24), о чем уже говорилось в п. 3 гл. 3. Чтобы выяснить, какое место в этой классификации занимают поля полного гравитационного излучения по Лихнеровичу, докажем следующее вспомогательное утверждение: если в F4 сигнатуры —2 существует вектор Za, удовлетворяющий условиям Лихнеровича (6.10)-(6.11), то этот вектор удовлетворяет также уравнениям
J[xC<x?]Y6 = 0, IclC^ = 0,
(6.17)
т. е. тензор Вейля в данном F4 определяет двойную особую форму. Действительно, подставляя выражение (6.15) в тензор Вейля (3.24) и используя условия (6.10), (6.11), а также свойство изотропности вектора Za, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости уравнений (6.17).
Можно показать (Лихнерович [62], § 21), что если некоторый тензор обладающий всеми алгебраическими свойствами тензора кривизны в пустом пространстве,
#a?Y& = —#?ocY? = —#<x?&Y =#Y&a?>
(6.18)
#a[?Y&] = 0» Ba?rbg^6 = 0,
определяет двойную особую форму, то в бивекторном npocTpaHCTBej B6 матрица || Hab || этого тензора приводится
В терминологии Лихнеровича — radiation totale.
80 к каноническому виду, характерному для типа N диаграммы Пенроуза (вырожденный тип 2 по классификации Петрова).
Пусть пространство V4 удовлетворяет критерию Лихнеровича. Тогда по доказанному выше оно допускает существование вектора Iа, удовлетворяющего уравнениям (6.17). Принимая во внимание алгебраические свойства тензора Вейля (3.25)-( 3.26) и используя результаты Лихнеровича, приходим к выводу, что тензор Ca?V8 принадлежит к вырожденному типу 2 по классификации Петрова для полей тяготения общего вида. Таким образом, получаем следующую общую теорему: пространство — время V4, удовлетворяющее критерию полного гравитационного излучения Лихнеровича, принадлеотт к вырожденному типу 2 с точки врения алгебраической структуры тензора Вейля [911.
4. Конформное отображение волновых гравитационных полей
В качестве примера, иллюстрирующего применимость критерия Лихнеровича, рассмотрим предпринятое Коноп-левой [92, 93] исследование специального случая конформного отображения чисто волновых гравитационных полей. Пусть V4 — пространство — время, определяемое условиями
Afrx] = О, R;=-AWC^vlRtx,
где X — гравитационная постоянная, C^xja — тензор конформной кривизны Вейля 1). Поскольку пространства Эйнштейна (3.7) тривиально удовлетворяют этим условиям, предположим, что данное V4 — неэйнштейново про-
х) Эти соотношения были получены в рамках исследования гравитации с точки зрения метода компенсирующих полей типа Янга — Миллса в теории с лагранжианом
W^vtx-
В эйнштейновской теории их следует интерпретировать не как уравнения поля, а как условия, выделяющие некоторый класс гравитационных полей (включающий в себя, в частности, все пространства Эйнштейна).
81 странство, конформное некоторому пространству Эйнштейна F4. Условия осуществимости такого отображения можно привести к виду
Д?;Х] = 2
где i?Txjxv — тензор Римана для пространства F4, a (Xv = ^vCT. Отсюда следует, что F4 удовлетворяет условию
