Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Второй критерий Беля (новая формулировка). Пустое пространство — время с тензором Римана Ra^yhф ф0 описывает свободные гравитационные волны в том и только в том случае, если оно допускает существование изотропного векторного поля Za, удовлетворяющего уравнениям (5.20).
75ГЛАВА 6 КРИТЕРИЙ ЛИХНЕРОВИЧА
1. Билинейная вырожденная форма тензора Максвелла
Критерий существования гравитационных волн, предложенный Лихнеровичем [87—90] (развернутое изложение см. в работе [62]), также опирается на аналогию с методом определения состояния электромагнитного излучения. Это последнее строится на базе решения задачи Коши для уравнений Эйнштейна — Максвелла в пространстве — времени F4. Изложим вкратце основные моменты подхода Лихнеровича к этой задаче.
Пусть поле электромагнитного тензора Fa о — класса C0 (С2 на кусках). По формуле Адамара (2.13) разрывы первых производных Fa ? на характеристической гиперповерхности ф (Xix) имеют вид
l^a?ivl = Wv (1V = ф,у)» (6-1)
гДе /a? — коэффициенты разрывности для тензора Fa Тогда из первой группы уравнений Максвелла следует, что коэффициенты разрывности удовлетворяют уравнениям
'a/?V + Wva +Va?= Of (6.2)
а из второй группы уравнений Максвелла следует, что
/«/a?= 0. (6.3)
В качестве основного предположения примем, что разрывы тензора электромагнитного поля на фронте волны пропорциональны самому полю, т. е. что /a?—Fa ?. Тогда, очевидно, тензор Fa^ удовлетворяет уравнениям типа (6.2) и (6.3):
'[c/?v]= 0, IaFafi= 0, (6.4)
откуда с необходимостью вытекает изотропность вектора Za: ZaZa = 0. Второе характерное свойство вектора Za, удовлетворяющего уравнениям (6.4), состоит в том, что линии векторного поля Za образуют конгруэнцию изотропных геодезических [260, 261].
Следуя Лихнеровичу, билинейную антисимметричную форму, удовлетворяющую уравнениям (6.4), будем назы-
76вать особой (или вырожденной) формой второго порядка *). Тогда можно сформулировать теорему (Лихнерович [62], § 7): коэффициенты Fa а билинейной особой формы в Va сигнатуры —2 имеют вид
^a?= Iabfl-Hba, (6.5)
где к — некоторый вектор, ортогональный к Iol (Wa = = 0). Отсюда как очевидное следствие вытекает, что если компоненты тензора Максвелла Fa ? являются коэффициентами билинейной особой формы, то они определяют изотропное электромагнитное поле. Обратно, изотропное электромагнитное поле F^ образует коэффициенты билинейной особой формы.
Мы уже установили ранее (гл. 4), что поле электромагнитного излучения можно определить как изотропное поле, отвечающее обращению в нуль инвариантов тензора Максвелла. Теперь мы видим, что изотропное электромагнитное поле, в свою очередь, можно определить как поле тензора Максвелла, компоненты Fv^ которого образуют коэффициенты билинейной особой формы. Тем самым устанавливается (эквивалентное данному в гл. 4) определение: тензор Максвелла F^ =/= 0 описывает электромагнитное излучение, если существует (необходимо изотропное) векторное поле Vх, удовлетворяющее уравнениям (6.4).
2. Двойная вырожденная форма тензора Римана
Пусть все функции в метрике gafl(x°)~ класса C1 (С3 на кусках). По формуле Адамара (2.14) разрывы вторых производных gafl на характеристической гиперповерхности (2.15) имеют вид
[ga?.pa] = aa?lplo. (6.6)
Подставляя (6.6) в выражение для тензора Римана
Aa?Xp, = — (gaX.?n + g?n,<xl — gay,,?X — ^?X.ay,) + Aa?Xy,,
где Ka^v. не содержит вторых производных метрики И, следовательно, не имеет разрыва на S, легко получить
х) 2-forme singuliere по оригинальной терминологии Лих-неровича [62].
Tlвыражение для разрывов Ra^v.:
[•ffa?Xy] = (daxl?lp + aP^ah — 0>*\J>?l<\ — o?xWy). (6.7)
Отсюда с очевидностью следует, что
M^Wl + h [^aXyJ + h І = 0. (6.8)
Если предположить далее, что разрыв тензора энергии — импульса Taа, фигурирующего справа в уравнениях Эйнштейна, на S равен нулю, а следовательно, в силу (1.1) LRa?] = 0, то, согласно Лихнеровичу ([62], § 20),
Iа [^W = 0. (6.9)
Сделаем основное предположение: пусть разрывы гравитационного поля, описываемого тензором i?a?Y8, на фронте волны S пропорциональны компонентам поля:
[Aa?Yfc] — Ra?yb-
Тогда тензор кривизны должен удовлетворять уравнениям вида
hRa?rb + IaR ?XYS + I?R-Kayb = 0, (6.10)
l*Ra?yb = 0, (6.11)
ИЗ которых следует, ЧТО вектор Za при Ra Qyb=J= 0 изотропен. Действительно, свертывая уравнения (6.10) с Za и принимая во внимание (6.11), получаем:
(IaL) Л**, = 0,
что и доказывает наше утверждение.
Введем следующее определение [88]: будем говорить, что всякий тензор
(= — H?aX^jl = — Ha?[Lh — a?)
определяет двойную вырожденную форму *), если существует вектор Za такой, что Ha^ Ф 0 удовлетворяет уравнениям
Z[X#a№5 - 0, l*Ha?Хц = 0. (6.12)
1J В оригинальной терминологии Лихнеровича — double forme singuliere.
78Из уравнений (6.12) Лихнербвич выводит следующие три следствия:
1) Za изотропен (доказательство аналогично предыдущему);
2) ZaZfa = 0, т. е. поле вектора Za определяет конгруэнцию изотропных геодезических;