Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, с учетом плотностных свойств, необходимых для корректного применения такого рода понятий (скажем, «плотностью энергии по Белю» в физическом смысле будет величина
v=g W).
2) Строго говоря, разбиение (5.16) нековариантно, поэтому все дальнейшие утверждения следует дополнять словами «в данной системе координат».
72 Первый критерий Беля. Свободные гравитационные волны необходимым и достаточным образом связаны с наличием потока суперэнергии. Следовательно, в окрестности произвольной точки пустого пространства — времени V4 существуют гравитационные волны, если для любого ере-менноподобного единичного вектора и* в этой точке Р*(и*) ф 0. Если же P7-(Ucl) = 0, то гравитационные волны в окрестности аанной точки отсутствуют.
3. Эквивалентность критериев Пирани и Беля
Докажем теперь строгую эквивалентность первого критерия Беля и критерия Пирани (это доказательство найдено Белем [80]). Вследствие их ковариантного характера достаточно сделать это в использованной выше локальной системе координат, где иЛ = б?. В этой системе, очевидно,
где трехмерный символ Леви-Чивиты e?mi равен +1, если подстановка 1, 2, 3 четная, —1, если нечетная, и 0 в остальных случаях, а антисимметричный трехмерный тензор Cjm имеет вид
Как показал Бель, в бивекторном пространстве с базисными бивекторами, построенными на векторах натурального репера избранной нами системы координат (нумерация индексов в бивекторном пространстве отвечает выбору (3.9)),
#(1) = еа) Д ?(0)» #(2) = Є(2) Д Є(0)» 2?(3) = е(3) А е(0)1 8 (4) = ?(2) А *<3)» #(б) = *(3) А е(1)» ^(6) = Є(1) А *(2) >
матрица тензора кривизны допускает выражение:
P1 = R1-j% Я0'0* = — S Bij0ItRoj0K, P0 = 0,
или, в другом выражении,
Pi = -TCimBfi*,
Cjm — S i? jk^km —
k
73 где S и Ж — матрицы и \\ JituW пространственных
компонент тензоров (5.10) и(5.11). Очевидно, еслиР^(ма) == ^ 0, то P1 = 0 и, следовательно, Cjm = 0, т. е. матрицы \\<Oik\\ и \\Mik\\ коммутируют. Но для того чтобы две трехмерные матрицы коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы в некотором базисе они одновременно приводились к диагональному виду. Таким образом, из условия Pa = Oh из формул (3.14) с необходимостью вытекает, что соответствующее поле Raflyb — типа 1 по классификации Петрова. Обратно, если P^ (иа) ф 0, т. е. соответствующее ноле тяготения описывает гравитационные волны с точки зрения первого критерия Беля, то оно принадлежит к типу 2 или 3, т. е. удовлетворяет и критерию Пирани. Тем самым наше утверждение доказано.
4. Инварианты тензора кривизны в пустом пространстве
Второй критерий Беля, сформулированный им в работе [68], как к критерий Пирани, основан на распространении понятия изотропного поля, известного из электромагнетизма, на случай полей тяготения. Но, в отличие от Пирани, Бель строит определение изотропного поля тяготения, обобщая не понятие следования за полем, а саму концепцию изотропного поля как ноля, инварианты которого равны нулю.
В то время как число функционально независимых скаляров, которые можно образовать из тензора Максвелла, равно двум, из тензора Римана можно образовать 14 функционально независимых скаляров, из которых в пустом пространстве отличны от нуля лишь четыре [85, 86]:
Л 1 Da? - DM* • Е? _ 1 -
А = —Л..цл/f..a?, п = -g- /1..Xyil..a?,
(5.18)
п 1 na?«« DM*" notf n 1 na?»» DH*-**
C = -Jq- Я..Xyil ..pa It.. a?, U = -jg- It..XvlII..pa /l..a?,
которые Бель называет фундаментальными скалярами. Тогда, определяя изотропное гравитационное поле условием
A=B = C=D= 0, (5.19)
получим новый критерий существования гравитационных волн.
74 Второй критерий Беля. Поля свободных гравитационных волн отождествляются с изотропными гравитационными полями, определяемыми условием (5.19), при ф Ф 0. Пустое пространство — время с тензором Римана Ва&у^Ф® описывает свободные гравитационные волны, если все четыре фундаментальных скаляра (5.18) обращаются в нуль. В противном случае свободные гравитационные волны отсутствуют.
Определим теперь, какие типы полей тяготения по классификации Петрова удовлетворяют второму критерию Беля. Записывая условия (5.19) в бивекторном пространстве и используя канонический вид матрицы тензора кривизны (3.11), (3.14) — (3.18), убеждаемся, что из шести типов диаграммы Пенроуза условиям (5.19) удовлетворяют три: О, N и III. Отбрасывая тип О как тривиальный (R a?vs = 0), убеждаемся, что второму критерию Беля удовлетворяют все поля тяготения типов N и III диаграммы Пенроуза, и только они.
5. Векторы Дебеве и второй критерий Беля
Типы О, N и III диаграммы Пенроуза в пустом пространстве (характеризуемые равенством нулю собственных значений тензора Rab) называются вырожденными типами полей тяготения. В классификации Беля [68] они составляют один тип cas 3.
Как показал Дебеве [81], для того чтобы пустое V4 принадлежало к типу 3 по Белю, необходимо и достаточно, чтобы оно допускало существование вектора Zct, удовлетворяющего уравнениям
RafrbWy - о, (5.20)
RafrblccIy = 0.
При этом векторное поле Za (вектор Дебеве) является единственным и изотропным. Таким образом, второй критерий Беля допускает следующую эквивалентную формулиров-ку [751:
