Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
*^a?Y5 = -^'ПаРрай^&і Ra?yb = ЛїБрв ^-a?- (5.1)
Можно показать, что в пространствах Эйнштейна (3.7)
* def *
*R<x?yb = #a? Y5 = Ra?yb (5.2)
(см. Приложение I, теорема 1).
Определим тензор суперэнергии Беля [76] как тензор четвертого ранга
T^ = -L (Raoxa + ). (5.3)
Легко видеть, что тензор суперэнергии (5.3) в пустом пространстве по своим свойствам допускает весьма близкую аналогию с тензором Tliv электромагнитного поля. Во-
первых, он полностью симметричен в силу того, что *
тензор Ra^yb в пустом V4 симметричен по парам индексов a? и уб. Во-вторых, как и в случае тензора Tltv, результат свертывания его с метрическим тензором дает нуль: #арГа^у=0. В-третьих, он удовлетворяет ковариантному уравнению непрерывности, которое аналогично уравнению непрерывности для тензора Tltv в пространстве — времени без источников [80]:
rV;a = 0. (5.4)
В-четвертых, аналогия между тензорами Ta^ и Tjjlv обнаруживается также при сравнении собственных значений тР* и инвариантов Ta^xv. Тензор Tjjlv удовлетворяет
69 соотношению [81]
Tgt?Y = 4-(5.5)
где к — собственное значение тензора тар, имеющее вид (4.1). Можно показать [81], что тензор суперэнергии удовлетворяет аналогичному соотношению:
где
Ki = (RamRa?~'bf + (RamRa^b)*. (5.7)
Тесную алгебраическую аналогию тензора Беля с тензором энергии — импульса электромагнитного поля можно использовать для определения «плотности энергии и импульса» гравитационного поля. І]усть в каждой точке M пространства — времени задан единичный временноподоб-ный 4-вектор иа. Поставим ему в соответствие скаляр
IV = T^UaU?UxUp. (5.8)
Нетрудно убедиться [80], что этот скаляр можно представить в виде
W (И-) = 4- (&a?r? + (5.9)
где симметричные тензоры и Жа?, введенные Матте [82], определяются как
^ccX = Ra?^U^ (5.10)
Я?аХ = - Ro?lau*. (5.11)
Очевидно, эти тензоры ориентированы в пространстве в том смысле, что временноподобный вектор Ucl является их собственным вектором (отвечающим нулевому собственному значению). Отсюда нетрудно установить, что квадрат каждого из этих тензоров не может быть отрицательным:
»a?»"* > 0, Matft** > (5-12)
причем знак равенства возможен лишь в том случае, когда соответствующий тензор равен нулю.
70 Можно, кроме того, доказать теорему [80]: если для некоторого вектора их величины Sa? и Жа$ одновременно равны нулю, то отсюда необходимым и достаточным образом следует, что i?a?Y& = 0, т. е. пространство — время плоское х). Действительно, пусть имеют место равенства:
Ra?x^u^ = 0, R^uPu» = 0.
Согласно леміме, доказываемой нами в Приложении I, второе из этих равенств эквивалентно соотношениям
(MvAa?Xy, + ^X^a?^v + U\iRa?v\) =
Умножая их на wv и используя условие и2 = 1, получим:
Aa?xX = 0. (5.13)
Отсюда вытекает (для пространств Эйнштейна) равенство * «
#a?X^? = #a?X^? = 0,
что, в свою очередь, эквивалентно соотношению
M^Aa?Xy. + UclR ЗтХц, + U?Ry OtXlI, = 0. (5.14)
Умножая (5.14) на иу и используя (5.13), получаем = = 0, что и доказывает теорему.
2. Энергия и импульс гравитационного поля
Синг [83], обсуждая представления о гравитационных волнах с точки зрения переноса ими энергии, сформулировал два необходимых условия, которым должна удовлетворять функция F (иа), выражающая плотность энергии гравитационного поля: 1) F (иа) > 0, 2) если F (иа) = 0, то Ra?yb = 0, т. е. энергия поля равна нулю лишь в отсутствие самого поля. Легко видеть, что скаляр W (иа) удовлетворяет обоим этим условиям: первое условие удовлетворяется в силу соотношений (5.9) и (5.12), а второе — в силу доказанной только что теоремы.
1J Заметим, что Матте в работе [82] записал уравнения гравитационного поля в пустом пространстве на языке величин (5.10) и (5.11) так, что в первом приближении они аналогичны уравнениям Максвелла, в которых роль напюяженностей электрического и магнитного полей играют величины $ и Ж. G точны зрения Матте, этой аналогии достаточно, чтобы убедиться в реальности существования гравитационных волн.
71 Таким образом, скаляр W (Wx) можно принять за определение «плотности энергии» гравитационного поля*). Поскольку вектор Ua временноподобен, можно выбрать локальную систему координат, в которой иа = 6S- В этой системе, очевидно, W = TtOOOOj подобно тому как понятие о негравитационной энергии связывается с компонентой T00 тензора энергии — импульса «материи» в уравнениях Эйнштейна.
Рассмотрим теперь вектор [76, 84]
Pa = (6? - щи*) T'^U?UjjiyL, (5.15)
который мы по аналогии с электромагнитным вектором Пойнтинга (4.4) можем назвать вектором Пойнтинга (или плотностью потока суперэнергий) гравитационного поля.
В той же системе координат, очевидно,
ро __ Q Pi = Tim
Как показал Бель [76], в линейном приближении в каждой точке имеет место соотношение
W10 = -P1, и (5.16)
откуда по теореме Гаусса
A0 jV dV = - J PiHi dS9 (5.17)
V Z
где 2 — двумерная поверхность, ограничивающая данный трехмерный объем V1 а пъ — единичный трехмерный вектор внешней нормали к 2. Формула (5.17) означает 2), что поток гравитационной суперэнергии через элемент двумерной поверхности пропорционален PiHi. Следовательно, для того чтобы поток суперэнергии через любую поверхность 2, окружающую данную точку, был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы Pi (иа) = 0. Мы приходим, таким образом, к формулировке критерия существования гравитационных волн по Белю.
