Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1-і і і
ҐП~? (3.20)
lll^N^O T3 T2 T1
Здесь I, D1 О — подтипы *ТЪ различаемые следующими свойствами: для I все три собственные значения в блоках матрицы ||Лаь1| различны; для D два собственных значения из трех совпадают, например,
а2 = «з» = ?a; (3.21)
для О все три собственных значения совпадают и, вследствие (3.15), являются вещественными:
Ot1 = CC2 = CC3 ---§-к, P1 = P2 = Рз = 0 (3.22)
1J Поскольку обозначения Пенроуза, благодаря наглядности диаграммы (3.20), стали широко приняты в работах по классификации Петрова, то мы в дальнейшем о полях типов I, Z>, О, II, Ar и III будем говорить просто как о соответствующих типах по Петрову, не подчеркивая отхода от оригинальной терминологии Петрова
[65] в обозначениях диаграммы (3.20).
60 (при к = О тип О включает только плоское пространство— время).
Во втором столбце диаграммы (3.20) II и N — подтипы *Г2, причем II — «невырожденный второй тип», для которого собственные значения O1 и а2 различны, a N — «вырожденный второй тип», для которого O1 и CT2 совпадают и, вследствие (3.17), вещественны1):
Qt1 = O2 = - 4"?x = ?2 = 0. (3.23)
Единственное и всегда вещественное собственное значение
1
в обоих блоках матрицы \\Rab\\ Для равно —
3. Классификация полей тяготения общего вида
Ввиду того, что классификация пространств Эйнштейна *Ті опирается только на алгебраические свойства тензора кривизны, для классификации полей тяготения общего вида (Ra ?=^=Kga?) целесообразно применить тензор конформной кривизны Вейля (см. [58], стр. 115),
C<x?[Lv = ^a?^iv — — (gyia^?v — gavR?p + ayi — g?^av) +
+ 4"R (S^g?, - g*ag?v), (3.24)
обладающий всеми алгебраическими свойствами тензора Римана:
C-a?^v = — C?apv = — С a?vyi = C^ a?, Ca[?y.v] = 0. (3.25)
Легко видеть, что
Cav^Cafiugfif = O, (3.26)
т. е. тензор Вейля произвольного пространства F4 в алгебраическом отношении ведет себя как тензор Римана в пустом пространстве, причем совпадает с последним в случае (2.2). Определяя в бивекторном пространстве Re характеристику Х-матрицы вида ||Cab — Xgab || тензора Вейля и повторяя рассуждения предыдущего параграфа, мы придем к выводу о существовании трех и только трех
1J Отметим, что Бель [68] пользуется несколько иными обозначениями: именно, типы I, D, II, III и N соответственно обозначаются как cas 1, cas 2а, cas 2b, cas За и cas ЗЬ.
61 типов V4 общего вида, отвечающих характеристикам
(3.13). Можно показать ([65], § 20), что матрица ||СаЬ|| в каноническом орторепере принимает тот же вид (3.11),
(3.14) —(3.18), что и IlRabIl, причем теперь всюду надо положить к = 0.
Диаграмма Пенроуза (3.20) также сохранит свой вид и для матрицы || Cab ||. При этом тип О будет представлять, очевидно, конформно плоские пространства F4, для которых всегда Ca Jiv = 0, а тип N будет описываться матрицами (3.16) при
CC1 =-= CX2 — 0, ?l = ?-2 = 0.
4. Классификация Петрова и изотропные векторные
поля
Дебеве [66] показал, что риманово пространство V4 сигнатуры — 2 допускает соответственно каноническому ви ду матрицы Л Cab У в бивекторном пространстве Rq по крайней мере одно и не более чем четыре изотропных векторных поля Za =f= 0, удовлетворяющих уравнениям
= 0. (3.27)
Формулировка этой теоремы Дебеве в виде уравнений (3.27) принадлежит Саксу [110]. Ввиду важности исследования Дебеве — Сакса для нашего дальнейшего изложения, мы остановимся на их результатах несколько более детально.
Тип I по Петрову характеризуется тем, что все четыре ектора I(N) (N = 1, 2, 3, 4) различны, для типа D они попарно совпадают (два независимых вектора), для типа II существует три независимых вектора (два из четырех совпадают), для типа III — два независимых вектора (три из четырех совпадают), наконец, тип N характеризуется тем, что все четыре вектора совпадают, т. е. определяют одно и то же направление1). Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить уравнения (3.27) в каноническом орторепере, задавшись в нем подходящими значениями ком-
1J Векторы Iх в этих уравнениях определены только с точностью до коллинеарности (умножения на произвольный скаляр). Поэтому различие в векторах понимается как различие в изотропных направлениях, задаваемых этими векторами.
62 понент Za. Так, для типа N следует принять Za Векторы Z(W), удовлетворяющие уравнениям (3.27)» будем называть векторами Дебеве.
Это приводит к новой инвариантной характеристике алгебраических типов полей тяготения общего вида. А именно, если условиться обозначать число совпадающих (коллинеарных) векторов Z(W) цифрой в квадратных скобках, то сказанное можно систематизировать следующим образом:
IZZ I D Il N III
J™^- (3.28)
Дебеве^—Сакса I1111I I22I '211I W t31I
Систему (3.28) можно использовать в алгебраической классификации полей тяготения по Петрову как альтернативу диаграмме (3.20). В этой формулировке классификации Петрова типы полей тяготения различаются по взаимной ориентации векторов Дебеве в самом физическом пространстве — времени.
Тип взаимной ориентации векторов Дебеве определяет специфический вид уравнений (3.27); наиболее общий вид этих уравнений характеризует «наиболее общий» случай ориентации векторов, т. е. тип I. Для других типов уравнения (3.27) переходят в более жесткие уравнения, так что полный их перечень для всех типов системы (3.28) имеет следующий вид:
