Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с дифференциальными методами, аналогия между полями тяготения и электромагнетизма может быть обнаружена на алгебраическом пути. Это приводит к возможности построить определение полей гравитационных волн на основе сходства алгебраической структуры тензора электромагнитного поля Fv^ и тензора Римана Ra?yb-Как мы увидим в следующей главе, характерное свойство полей электромагнитного излучения, выделяющее их из
1J Эта теорема представляет собой аналог теоремы об инволюции системы уравнений Эйнштейна, рассмотренной в предыдущей главе.
56 множества всех электромагнитных полей, может быть сформулировано в форме чисто алгебраических условий, а именно, в виде обращения в нуль инвариантов тензора электромагнитного поля F^. С этой точки зрения определение электромагнитного излучения основано на алгебраическом разбиении всех электромагнитных полей на два типа, физически интерпретируемых как волновые и неволновые поля. Это наводит на мысль о применении метода алгебраической классификации также и к проблеме определения гравитационных волновых полей. Однако здесь мы сразу же убеждаемся в отсутствии полной алгебраической аналогии между электромагнитными и гравитационными полями.
В самом деле, вследствие различия в алгебраической структуре тензора электромагнитного поля F^ и тензора кривизны пространства—времени гравитационные
поля разбиваются не на два типа, как электромагнитные, а на пять алгебраически различных типов, определяемых классификацией Петрова (три основных типа, из которых два могут быть как вырожденными, так и невырожденными). Это приводит к разнообразию алгебраических свойств гравитационного волнового поля и, соответственно, к множественности алгебраических критериев, выделяющих волновые гравитационные поля из всех полей тяготения. В этом состоит еще одна трудность, вследствие которой проблема гравитационных волн в общей теории относительности до сих пор не получила общепринятого теоретического разрешения. Алгебраическая классификация полей тяготения по Петрову [64, 65] будет, однако, играть весьма важную роль в нашем дальнейшем изложении, поэтому целесообразно остановиться на ней более подробно.
2. Алгебраическая классификация полей тяготения.
Проотранотва Эйнштейна
Пусть данное риманово пространство F4 является пространством Эйнштейна, т. е. описывается уравнениями
tfot? = Kga?. (3.7)
Легко показать, что при этом должно быть
X = -^-B = const.
57 Следуя методу Петрова ([65], стр. 113—117), отобразим пространство Эйнштейна в каждой точке на центроаф-финное бивекторное пространство Bn размерности
N = Cl = ±n(n-l) = ? (U = A)j
поставив в соответствие каждой кососимметричной паре индексов произвольного тензора в пространстве Эйнштейна один собирательный индекс в пространстве Bn- Тогда произвольному битензору (т. е. тензору, индексы которого разбиваются на кососимметричные пары) из пространства Эйнштейна отвечает в пространстве Be тензор вдвое меньшей валентности.
Метризуем бивекторное пространство J9e, введя в нем тензор gab (а, Ъ = 1, 2, 3, 4, 5, 6) как образ тензора четвертого ранга в пространстве Эйнштейна:
Sab —* ga?yb = S ay g? 8 — gdbg?yj
(3.8)
(a?) -> a, (гб)^Ь.
Предполагая, что V4 имеет сигнатуру —2 (т. е. +, —, —, —), и фиксируя нумерацию индексов бивекторного пространства
10 1, 20 2, 30 3, 23 4, 31 5, 12 -> 6, (3.9)
получаем в выбранном орторепере канонический вид метрики пространства B6:
З- <з-іо>
где е' — единичная 3 X 3-матрица. Отсюда следует, в частности, невырожденность матрицы || gab [|.
Записывая в орторепере уравнения (3.7), приходим к выводу, что в пространствах Эйнштейна матрица Ji?ab|| тензора кривизны симметрично-сдвоенная:
/X Ж\
где блоки $и Ж — симметричные 3 X 3-матрицы, элементы
58 которых удовлетворяют соотношениям
% 3
S = - S = 0. (3.12)
8=:1 8=1
Тогда, разбивая Я-матрицу вида |ДаЬ — Xgab || на две трехмерные комплексно сопряженные матрицы, приходим к основной теореме Петрова: существует три и только три типа полей тяготения, определяемые в R6 соответственно характеристиками Я-матрицы тензора кривизны:
Тип 1 Тип 2 Тип 3
[111, TTll [21,Я] [3,3] (3,13)
Здесь чертой обозначены элементарные делители с комплексно сопряженными базисами. Для типа 3 элементарные делители имеют вещественные базисы (черта отсутствует). Все пространства постоянной кривизны, определяемые характеристикой вида [(111, 111)], принадлежат к типу 1 ([65], стр. 119).
Петров показал ([65], § 19), что матрица \Rabl тензора кривизны в каноническом неголономном орторепере приводится к виду (3.11), где для полей типа 1
(3.14)
(3.15)
для полей типа 2 Здесь а8 и ?8 — соответственно вещественные и мни-мые части базисов элементарных делителей
а8 = CC8 + i?. (5-1,2,3), (3.19)
совпадающих с собственными значениями матрицы || Rab ||.
Соответственно трем типам пространств Эйнштейна условимся обозначать их *Tt, где і = 1, 2, 3 указывает тип поля тяготения. Пустое пространство—время Rap = = 0, т. е. пространство *Tt при к = О, будем обозначать Ti. Классификация Петрова в дальнейшем была сформулирована в рамках других формализмов, применяемых в исследованиях по гравитационным волнам. Так, Дебеве [66] подробно описал типы и подтипы полей по Петрову, исходя из вариантов взаимной ориентации изотропных векторных полей в физическом пространстве—времени, а Пенроуз [67] исследовал спинорные свойства тензора Римана с точки зрения алгебраической классификации по Петрову. Пенроузу же принадлежит следующее наглядное представление систематики Петрова в виде диаграммы *):
