Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
53 тельности, что мешает решению вопроса о возможности переноса энергии гравитационными волнами и описанию самих волн в терминах свободного переноса энергии поля.
Проблема гравитационных волн, как всякая физическая задача, предполагает не только теоретическую, но и экспериментальную трактовку. Иными словами, к гравитационным волнам можно и должно подходить как к физической реальности, доступной экспериментальным измерениям. Но для корректной теоретической интерпретации данных эксперимента физическая теория должна содержать некоторые исходные общие посылки, не зависящие от конкретного эксперимента. Только в этом случае теория оказывается цельной и замкнутой, т. е. имеет собственную логическую основу (см., например, [61]). В противном случае сопоставление теории с данными того или иного эксперимента носило бы характер тавтологии.
В этом смысле общая теория относительности занимает исключительное положение среди всех физических теорий. Строгий геометрический фундамент, на котором зиждется здание эйнштейновской теории тяготения, позволяет нам надеяться на возможность общего и строгого обоснования концепции гравитационного излучения. Для выяснения этой возможности мы и предприняли в предыдущей главе обсуждение задачи Коши для уравнений гравитационного поля. При этом выяснилось, что решение задачи Коши для уравнений тяготения Эйнштейна в ряде существенных пунктов обнаруживает глубокую аналогию с решением соответствующей задачи для уравнений электромагнитного поля. В частности, характеристические многообразия и бихарактеристики уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла в пространстве — времени V4 совпадают. Но в классической электродинамике характеристическое многообразие уравнений Максвелла описывает фронт электромагнитной волны, а бихарактеристики уравнений Максвелла — траектории распространения электромагнитного излучения. В свете обнаруженной аналогии становится оправданным предположение, что теоретически фронт гравитационной волны можно определить в терминах характеристического многообразия уравнений Эйнштейна, а траектории ее распространения — в терминах бихарактеристик уравнений тяготения.
Основной проблемой, однако, остается проблема определения поля гравитационного излучения, или гравита-
54 ционной волновой зоны. Изложенное выше не исключает возможности найти удовлетворительное определение. При этом поиски исходных посылок, по-видимому, можно вести на пути дальнейшего углубления аналогии между гравитационным и электромагнитным полями. Разумеется, необходимо отдавать себе отчет в том, что эта аналогия не может продолжаться неограниченно. Тем не менее, следует указать, что все рассматриваемые в дальнейшем методы описания гравитационного излучения так или иначе используют аналогию между полями электромагнетизма и гравитации.
Эта аналогия может быть обнаружена различными способами. Первый способ непосредственно вытекает из сопоставления дифференциальной структуры уравнений тяготения и электромагнетизма, т. е. из сравнительного анализа решений задачи Коши для уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла. Такой анализ удобнее всего произвести, если в уравнениях тяготения в качестве тензора поля, аналогичного электромагнитному тензору F^1 принять тензор кривизны пространства — времени F4. Уравнения Эйнштейна
Aa? - - ШаЭ (Uafi = T^--L Tga?) (3.1)
и тождества Бианки
#a?YS;o + Ra?ar;b + ^a?gojY = 0 (3-2) приводят к соотношениям 1J [60, 62]
Ra?r.lb = — 2Ш,[а;3] (2C/Y[a;?] = #Ya;? — U^x а). (3.3)
Соотношения (3.2) и (3.3) обнаруживают замечательную аналогию с уравнениями Максвелла
F y.v;a + F ovl;v + F vo;iJL = 0, (3.4)
F^ = — /V, (3.5)
причем тензор
Aa? = 2M7Y|;a;?] (3.6)
может быть интерпретирован как гравитационный аналог
1J Здесь и далее прямые скобки означают антисимметризацию по заключенным в них индексам; соответственно, круглые скобки будут означать симметризацию.
55 электромагнитного тока. Однако если рассматривать (3.2) и (3.3) как уравнения относительно компонент Rapyb, то возникает вопрос: при каких условиях из уравнений (3.2) й (3.3) вытекают эйнштейновские уравнения
(3.1)? Более строго проблему можно сформулировать так: каким условиям должны удовлетворять начальные данные уравнений (3.2) и (3.3), чтобы полный класс их решений определял множество всех полей тяготения эйнштейновской теории?
Ответ на этот вопрос был дан Лихнеровичем, который показал [62], что если на начальной гиперповерхности 5, ориентированной в пространстве, начальные данные уравнений (3.2) и (3.3) (т. е. компоненты тензора Римана) удовлетворяют соотношениям (3.1), то последние удовлетворяются и в окрестности S1). Иными словами, уравнения
(3.2) и (3.3) полностью эквивалентны уравнениям тяготения Эйнштейна, если данные Коши для уравнений (3.2) и (3.3) на пространственноподобной начальной гиперповерхности S подчинены условиям связи (3.1). В этом случае уравнения (3.2) — (3.3) называются квазимаксвел-ловскими уравнениями тяготения [63].
Однако «квазимаксвелловский подход» приводит к принципиальным трудностям при описании гравитационных полей волнового типа, определяемых начальными данными на характеристической (изотропной) гиперповерхности. Так, в случае гравитационного поля можно построить аналог волнового уравнения, отвечающий уравнению относительно тензора электромагнитного поля F^ следующему из уравнений Максвелла в римановом пространстве — времени (Толмэн [63]). Однако этот аналог оказывается тождеством относительно тензора Римана Rafiyb и, следовательно, не позволяет выделить волновые поля как специальный класс полей тяготения.
