Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В системе координат, где уравнение S имеет вид (2.16), данные Коши состоят из ga? (функций, по крайней мере три раза непрерывно дифференцируемых по хг), ga?,0 и Fa ? (функций, дважды дифференцируемых по тем же координатам). Разрыв на S могут иметь лишь производные ga?,oo и Fa?>0. Выделяя для удобства индекс 0, запишем уравнения (2.31) в форме
Di S SOOF0ll0 + g»bFkU0 + ... = 0, (2.35)
D0^gOiFi0l0 + ... = О (2.36)
(многоточие здесь и в дальнейшем используется для того, чтобы не выписывать явно члены, однозначно определяемые данными Коши).
Как показал Лихнерович, система уравнений (2.35) — (2.36) эквивалентна системе, составленной из уравнений (2.35) и
D0 = Os (2.37)
где величина D0 (^gotDi -j-g00D0), как видно из уравнений (2.35) — (2.36), однозначно определяется данными Коши. Аналогично, уравнения (2.32) эквивалентны системе
Еі^±ц^ік,0 + ... = 0, (2.38)
F=-^ipbFklti = Ot (2.39)
где E0 определяется данными Коши. Наконец, уравнения (2.33) эквивалентны системе
Qij EEE Rij - rSV + ^ii = 0, (2.40)
Ql =Rqol--L Ro°a + Xx0ol = 0, (2.41)
где Qa определяется данными Коши. (Напомним, что вне ИСТОЧНИКОВ след тензора энергии — импульса T^ = 0.) Таким образом, задача Коши распадается на две части: 1) определение данных Коши, удовлетворяющих на S условиям (2.37), (2.39) и (2.41); 2) интегрирование при найденных начальных данных системы уравнений (2.35), (2.38) и (2.40) по координате х°.
51 Предположим сначала, что g00 Ф 0 всюду на S. Тогда из уравнений (2.38) однозначно определяется Fiky0l из уравнений (2.35) — F0ii0l а из уравнений (2.40) — Su4оо- Таким образом, все вторые производные от ga? и первые производные от Fa ? однозначно определяются начальными данными и исходной системой, в силу чего последняя имеет единственное решение.
Пусть теперь g00 = 0 на S. Тогда gijl00 и Folo могут иметь разрыв на S1 и, следовательно, S — характеристическое многообразие уравнений Максвелла. Характеристическое уравнение, как мы знаем, имеет вид (2.22), иными словами, характеристическое многообразие уравнений Максвелла совпадает с характеристическим многообразием уравнений Эйнштейна.
Таким образом, мы доказали теорему Лихнеровича ([52], стр. 50-52):
Характеристические многообразия (2.15) уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла в F4 совпадают и определяются решениями уравнения эйконала (2.22).
Прямым следствием этой теоремы является тот факт, что бихарактеристики уравнений Эйнштейна совпадают с бихарактеристиками уравнений Максвелла.
7. Фронт гравитационной волны и «лучи» тяготения
На основании изложенного можно утверждать, что характеристическое многообразие уравнений Эйнштейна есть гиперповерхность, на которой тензор Римана терпит разрыв Адамара, т. е. эта гиперповерхность играет роль фронта волны, понимаемого как поверхность разрыва #a?Y& [55, 59]. Бихарактеристики же уравнений Эйнштейна представляют собой траектории изотропного вектора, ортогонального к характеристической гиперповерхности (фронту волны) и играющего, следовательно, роль волнового вектора. Так как характеристическое многообразие и бихарактеристики — инварианты преобразований координат ([50], стр. 555), то трехмерную характеристическую гиперповерхность уравнений Эйнштейна можно рассматривать как инвариантно определенный фронт гравитационной волны, а бихарактеристики уравнений Эйнштейна — как инвариантно определенные гравитационные лучи, т. е, траектории распространения фронта волны.
52 Аналогично, фронт электромагнитной волны в пространстве V4 определяется характеристической гиперповерхностью уравнений Максвелла; вследствие теоремы Лихнеровича, он совпадает с фронтом гравитационной волны. Траектории распределения электромагнитной волны — электромагнитные лучи — можно определить как бихарактеристики уравнений Максвелла; они совпадают с гравитационными лучами.
ГЛАВА 3
СОДЕРЖАНИЕ ПРОБЛЕМЫ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
1. Различные аспекты проблемы
С точки зрения результатов, изложенных в главе 2, поля тяготения, описывающие свободные гравитационные волны, определяются решениями уравнений Эйнштейна (2.2) с начальными данными на характеристической гиперповерхности. Однако частные решения уравнений Эйнштейна найдены, как правило, без задания определенных граничных условий, так что волновой характер конкретного решения, вообще говоря, может не быть очевиден. Между тем, исследуя гравитационные поля, мы имеем в своем распоряжении только частные решения уравнений Эйнштейна. Поэтому возникает проблема: определить об-щековариантным образом класс полей тяготения, который отвечал бы разрыву Адамара в решениях уравнений Эйнштейна с начальными данными на характеристическом многообразии.
Окончательное решение этой проблемы до сих пор отсутствует, несмотря на многочисленные варианты, к обзору которых перейдем в следующих разделах. Трудность ее с точки зрения теории дифференциальных уравнений объясняется сложностью нелинейной структуры уравнений Эйнштейна и отсутствием для них универсальных граничных условий. С дифференциально-геометрической точки зрения трудность этой проблемы состоит в отсутствии об-щековариантного оператора Даламбера, который выражался бы явным образом из уравнений Эйнштейна. Наконец, с физической точки зрения трудность проблемы связана также с отсутствием общековариантного выражения для энергии гравитационного поля в общей теории относи-
