Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как заметил Лихнерович [54], в нашем случае может быть использована теорема Л ере [59], согласно которой система квазилинейных уравнений в частных производных гиперболического типа имеет решение в неаналитических функциях, и притом единственное, при условии, что начальная гиперповерхность S является свободной (про-странственноподобной), а данные Коши на ней выражаются достаточно гладкими функциями. Применительно к уравнениям (2.2) все условия теоремы Л ере удовлетворяются, если воспользоваться гармоническими координатами, в которых уравнения Эйнштейна принимают вид (2.8), а начальные данные определяются решением системы уравнений (2.20).
47 Из теоремы JIepe вытекает следующий важный результат:
Разрыв Адамара тензора Римана Ba?r8 в пустом пространстве — времени возможен только на характеристической гиперповерхности уравнений Эйнштейна (2.2) S1 определяемой уравнением эйконала (2.22).
Действительно, наличие разрыва Адамара в тензоре Римана на некоторой гиперповерхности S свидетельствует о том, что по крайней мере некоторые из вторых производных метрического тензора ра не могут быть однозначно определены из уравнений поля в окрестности S по заданным на ней начальным данным. А это, в свою очередь, означает, что гиперповерхность S не может быть свободной.
5. Бихарактеристики урав&ений тяготения
Мы выяснили, что в римановом пространстве F4 сигнатуры — 2 характеристическое многообразие уравнений Эйнштейна в пустоте
представляет собой изотропную трехмерную гиперповерхность F3 (2.15), причем функция ср удовлетворяет уравнению эйконала (2.22).
Огибающая гиперплоскостей, касательных в данной точке ко всем возможным характеристическим гиперповерхностям, проходящим через эту точку, называется характеристическим конусом [50]. А так как характеристическая гиперповерхность уравнений Эйнштейна изотропная (т. е. несет на себе вырожденную метрику), то характеристический конус системы уравнений (2.2) совпадает со световым конусом в данной точке ([52], стр. 33—35). Впервые уравнение (2.22) как характеристическое уравнение для системы (2.1) было рассмотрено Финци [59]«
Согласно определению бихарактеристик (называемых также лучами) для системы квазилинейных уравнений второго порядка (см. [50], стр. 551), бихарактеристики уравнений Эйнштейна (2.2) совпадают с линиями тока изотропного векторного поля Zot, ортогонального к характеристической гиперповерхности S1
(2.24)
(2.25)
48 и выражаются уравнениями
dxa
dx
= (2-26)
где т — параметр на кривой. Очевидно, из уравнений (2.26) вытекает также
h = (2.27)
Функции ха (т) и Ia (т) можно задать канонической системой уравнений
dx« дН dla дН
где функция Гамильтона
я (*a,z?) = 4^aZ? (2-29)
совпадает с характеристической формой уравнений Эйнштейна в пустом пространстве [50]. Но решения Xcc(X) канонической системы (2.28) определяют экстремали функции Лагранжа
J __ 1 dx* dx&
ь - 2 g^ "57" ~jr '
ТУ I С, dx*\
В самом деле, переходя от переменных Ixt-^-I к переменным (ха, №), получаем классическое соотношение между L и H:
"-maL
т
L.
Поскольку первый интеграл системы (2.28) есть 2L = = C = const, то эти решения будут экстремалями и для
VS
т. е. будут геодезическими риманова пространства F4 с метрикой ga? ([52], стр. 33—35).
Как известно из теории дифференциальных уравнений в частных производных [50], бихарактеристики принадлежат к характеристической поверхности, т. е, касательные
49 к ним являются образующими характеристического конуса. Но, как мы видели выше, характеристический конус для уравнений Эйнштейна совпадает со световым конусом. Следовательно, бихарактеристики уравнений Эйнштейна являются изотропными геодезическими.
6. Задача Коши для уравнений Эйнштейна — Максвелла
При анализе определения гравитационных волн существенную пользу может принести опыт, приобретенный при исследовании теории электромагнитных волн, описываемых тензором энергии — импульса
Toc? = 4" - (2.30)
где Fa ? есть максвелловский тензор напряженностей. Поэтому целесообразно рассмотреть задачу Коши также для уравнений Максвелла в римановом пространстве — времени общей теории относительности. Общее решение этой задачи исследовал Лихнерович ([52], стр. 43—52).
Самосогласованная система уравнений Эйнштейна — Максвелла имеет вид
Da^gtFaet* = 0, (2.31)
Е* see -L = 0, (2.32)
<?a? = RolP - -L Rg^ + bta? = Oe (2.33) Здесь T|a?YS — дискриминантный тензор 1J
= 8a?Y8? ^ys = _ 8a?Y5> (2.34)
У —8
а е^ь — полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты, равный -J-I для е1234 и всех четных перестановок индексов, —1 для нечетных перестановок и 0 в остальных случаях.
Примем, что поле Fa?— класса C0 (С2 на кусках). Тогда задача Коши для уравнений Эйнштейна—Максвелла (2.31) — (2.33) формулируется так: пусть на начальной
Точнее, аксиальный тензор, так как при преобразовании координат его знак зависит от знака якобиана преобразования (см., например, [60], стр. 11).
50 гиперповерхности S (2.15) заданы гравитационное и электромагнитное поля; требуется определить их вне если они удовлетворяют уравнениям (2.31) — (2.33).
