Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из постановки задачи Коши легко видеть, что в проблеме гравитационных волн нас должно интересовать ее решение в функциях класса C1 (С2 на кусках) при достаточно гладких (но неаналитических) начальных данных. Иными словами, компоненты и их первые производные ^vt о будут непрерывны на гиперповерхности S1 а какие-то из вторых производных метрики, gjxv, ро> должны претерпевать на S разрыв Адамара. Определим, какие из вторых производных glJ1V могут иметь разрыв на гиперповерхности S1 заданной уравнением (2.16). Согласно формуле Адамара (2.14), разрывы вторых производных можно выразить в виде
IglIVl a?] = <VP.afP,?> (2'!7)
44 где apv — так называемые «коэффициенты разрывности» (см. также работы Траутмана [55] и Беля [56]). Отсюда вытекает, что из вторых производных от ^v на гиперповерхности S разрыв могут терпеть только
[?iiv,oo] = ^v. (2.18)
Но среди этих производных производные от goa не входят в уравнения Эйнштейна. Поэтому для нас важно то, что из всех производных от g^v, входящих в уравнения (2.2), разрыв на гиперповерхности S могут претерпевать только вторые производные вида ^ij-,00. В этом случае данные Коши для задачи (2.2) сводятся к заданию на S только значений функций g^v и g^v, 0> из которых первые мы предполагаем трижды, а вторые — дважды непрерывно дифференцируемыми по координатам Xі. Остальные первые производные от ^lxv, а также вторые производные от g00 и g0i однозначно даются дифференцированием по Xі уже известных данных Коши на S.
В связи с этим возникает вопрос: когда уравнения Эйнштейна (2.2) вместе с данными Коши однозначно определяют также и производные giji 00?
Как показал Лихнерович ([52], стр. 31—33, см. также [57], стр. 364), система уравнений (2.2) в гармонической системе координат эквивалентна системе вида
^g00SiU 00 + ? = 0, (2.19)
S0a = 0, Га = 0, (2.20)
где
S? = R? —Y i?6?, (2.21)
причем Qij-, S0ol и Га не содержат производных вида giji00 и, следовательно, полностью определяются данными Коши. При этом выполнение условий (2.20) на гиперповерхности S гарантирует их выполнение и в окрестности 5, если на S и вые S имеют место уравнения (2.19) (теорема Лихнеровича об инволюции системы дифференциальных уравнений [52]).
Это означает, что условия (2.20) служат лишь для определения данных Коши, которые, следовательно, не могут быть произвольными. В то же время система (2.19) служит для интегрирования системы (2.2) по х°, т. е. для определен
45 ния неизвестных функций gpv. Таким образом, задача Коши для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве распадается на две части: 1) определение данных Коши, удовлетворяющих уравнениям (2.20); 2) интегрирование системы уравнений (2.19) по х°.
Пусть мы имеем данные Коши, удовлетворяющие условиям (2.20). Тогда уравнения (2.2) при условии g00 ф0 допускают решение, не имеющее разрыва Адамара на S; это соответствует случаю, когда уравнения (2.19) вместе с данными Коши однозначно определяют также и производные gijy 00. Наоборот, если g00 = 0 в окрестности S, то вторые производные gij,0о, а следовательно, и компоненты тензора кривизны R0i0j не могут быть определены на S однозначно данными Коши и уравнениями поля, т. е. претерпевают на гиперповерхности S разрыв Адамара 1J.
3. Характеристические гиперповерхности уравнений Эйнштейна
Условие g00 = 0, определяющее разрыв Адамара тензора кривизны на начальной гиперповерхности 5, заданной в виде (2.16), можно сформулировать в общекова-риантном виде. Действительно, переходя к произвольным координатам, в которых х° = ф (х'*), запишем условие
00 = Эх* дхо ,a? = Q * дхдх* *
в виде общего уравнения гиперповерхности 5, допускающей слабый разрыв решения системы (2.2) (штрихи опущены):
Sa?qVP,?=0, (2.22)
т. е. уравнения эйконала из геометрической оптики ([16], стр. 173).
Но уравнение (2.22) является необходимым и достаточным условием изотропности гиперповерхности S (см» [58], стр. 57). Следовательно, слабый разрыв первого рода
х) По определению, разрыв производных от функций, выражающих решение задачи Коши для некоторой системы уравнений, при условии непрерывности самого решения называется слабым разрывом решения данной системы уравнений. Таким образом, условие g00 =0 означает слабый разрыв первого рода для решения системы уравнений (2.2).
46 в решении системы уравнений (2.2) (разрыв Адамара тензора кривизны) возможен только при условии, что начальная гиперповерхность S изотропна.
Мы видим, что решение задачи Коши для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве существенно зависит от характера начальной гиперповерхности S. Если гиперповерхность S1 заданная уравнением ср (яа) = 0, не удовлетворяет условию (2.22):
(2.23)
то она называется свободной, и задача Коши для уравнений (2.2) в функциях класса C1 (С2 на кусках) допускает единственное решение. Если же S удовлетворяет условию (2.22), то она называется характеристическое и теорема о единственности решения задачи Коши не имеет места.
4. Теорема JIepe
О решении задачи Коши для уравнений Эйнштейна (2.2) можно судить также на основе общих теорем о существовании и единственности решения системы квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Так, если входящие в уравнения коэффициенты все аналитичны, а решение ищется в аналитических функциях, то при аналитических начальных данных на свободной гиперповерхности задача Коши имеет, притом единственное, решение (теорема Коши — Ковалевской, см. [53], стр. 56). Однако к интересующему нас случаю решения задачи Коши в функциях класса C1 (С2 на кусках) теорема Коши — Ковалевской неприменима.
