Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров В.Д. -> "Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна " -> 14

Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.

Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна — М.: Наука, 1972. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionniyvolni1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 68 >> Следующая


1) Всюду далее значок даламбертиана понимается в смысле, указанном формой (2.1).

41 динат привести к каноническому виду, характеризующемуся сигнатурой (+, —, —, —). Тем самым доказано, что система квазилинейных уравнений (2.2) есть система гиперболического типа (см. [49], стр. 61).

2. Разрыв Адамара

В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [50]) распространение волны в пространстве характеризуется разрывом Адамара в решении уравнений на начальной гиперповерхности S. Как мы увидим ниже, гиперповерхность S разрыва функций поля (их производных), называемая поверхностью фронта волны, является характеристической гиперповерхностью уравнений поля. Поэтому нашей ближайшей задачей будет определение характеристических многообразий («характеристик») уравнений Эйнштейна. Однако прежде, чем применить понятие разрыва Адамара непосредственно к уравнениям Эйнштейна, мы проиллюстрируем его на примере скалярного уравнения (2.1).

Пусть в каждой из окрестностей 1 и 2, на которые поверхность S делит рассматриваемую область пространства — времени, функция i|) непрерывна и при стремлении ха к некоторой точке P0 (#(о)) поверхности S соответственно из окрестностей 1 и 2 стремится к пределам Тогда разрывом Адамара функции г|) на поверхности S называется следующая функция точки P0:

№ (P0) = ^-^?. (2.9)

Пусть теперь функция г|> непрерывна всюду вблизи S, но некоторые из ее первых частных производных г|),а имеют конечные разрывы на S:

№=0, hM^O. (2.10)

Построим полные дифференциалы ?^) и Ift2) на S:

Лр<1) = ?(1), а dx«, d\1?(2) = adxa.

Существование и непрерывность их доказал Адамар [51], рассмотрев предельный переход к S из окрестностей 1 и 2. Вычитая их один из другого, получаем, вследствие (2.10) и непрерывности d\р на S:

(?(1), а - ?(2). а) dx* = [IjJiflt] dx« = 0. (2.11)

42 Пусть поверхность S задана уравнением cp(#a) = 0. Для Заф — вектора нормали к поверхности 5—имеет место соотношение

CptaCfca = 0, (2.12)

если приращение dxa принадлежит поверхности S. Сравнивая (2.11) и (2.12), приходим к выводу о пропорциональности Гф,а] и ф,а:

N\al = ХФ,а- (2.13)

Если первые производные функции г|) непрерывны, то можно аналогичным образом показать, что разрывы вторых производных будут выражаться формулой

bfca?l = Хф,аф, ?» (2.14)

и т. д. (см. Адамар [51], стр. 81—89).

Итак, проблему исследования гравитационных волн как решений уравнений Эйнштейна следует связать с решением задачи Коши для системы квазилинейных уравнений в частных производных гиперболического типа в неаналитических функциях; иными словами, следует предполагать, что коэффициенты уравнений, начальные данные и само решение могут быть функциями конечного порядка гладкости Cr, а производные от этих функций более высокого порядка, чем г, претерпевают разрыв Адамара на некоторых гиперповерхностях. (Функция называется функцией класса Cr, если она имеет непрерывные частные производные до порядка г включительно.) Если г|) — функция класса Cr"1 в окрестности некоторой гиперповерхности S4 а ее производные порядка г имеют на S разрыв Адамара, то г|) называется кусочно-гладкой функцией класса Cr, или функцией класса Cr «на кусках» х).

Решение задачи Коши зависит не только от класса гладкости функций, в которых заданы начальные данныз и ищется решение, но и от характера начальной гиперповерхности S. Именно: решения задачи оказываются существенно различными в зависимости от того, является ли гиперповерхность S свободной или характеристической 2).

Par тогсеаих («на кусках») — в оригинальной терминологии Лихнеровича (см. [52], стр. 27—35).

2) Для общего случая постановку задачи Коши и определение свободной и характеристической гиперповерхности можно найти в монографиях Петровского [49], а также Берса, Джона и Шехтера [53].

43 В важном для нас случае уравнений Эйнштейна (2.2) задача Коши формулируется следующим образом:

Пусть на начальной гиперповерхности S, выражающейся уравнением вида

S: ф(ж«) = 0, (2.15)

заданы функции ga?(xa) и их первые производные ga?iP(oc°); требуется найти функции ga ? (х°) вне S при условии, что на S они сами и их первые производные совпадают с заданными функциями, причем и на S1 и вне S искомые ga? удовлетворяют уравнениям (2.2).

В проведенном Лихнеровичем анализе задачи Коши для уравнений Эйнштейна большую роль сыграл выбор удобной системы координат. В дальнейшем мы будем предполагать, что система координат — гармоническая, так что уравнения (2.2) принимают вид (2.8), а начальные данные подчиняются условию

Г° = 0.

Точное решение задачи Коши для уравнений Эйнштейна в гармонических координатах было дано Лихнеровичем в работе [54], которой мы в дальнейшем и будем придерживаться.

В рамках условия гармоничности во всей области пространства — времени, где ищется решение задачи Коши, в бесконечно малой окрестности гиперповерхности S можно выбрать такие координаты Xf31 в которых ее уравнение приводится к виду

ф (Xа) = X0 = O. (2.16)

Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed