Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
38 Подход Айзексона устраняет две существенные трудности в поисках определения гравитационных волн, справедливого в приближении заданного порядка. Первая из них, как говорилось выше, была связана с необходимостью предполагать слабость гравитационного поля, обусловленного волновым возмущением. Вторая была сопряжена с предположением о плоском характере метрики фона. В результате методы аппроксимаций были применимы лишь к асимптотически плоским гравитационным полям (в частности, к полям островных источников).
Однако метод Айзексона — Брилла — Хартла, как и другие описанные выше методы, не преодолевает еще одной трудности, присущей всем попыткам дать определение гравитационных волн, отправляясь от метода приближений: отсутствует доказательство сходимости ряда последовательных приближений. Так, метод Боннора основан на предположении о сходимости ряда (1.19) в окрестности т = 0 и а = 0, что, однако, не обеспечивает его сходимости на достаточно больших расстояниях от системы источников. Как показал Фок [9], при разложении подынтегрального выражения (1.13) для волновых функций г|)аР достаточно хорошая сходимость ряда обеспечивается лишь для «умеренно больших» расстояний г: именно, для расстояний, больших по сравнению с размерами системы источников, но малых по сравнению с длиной испускаемых ею волн. Что же касается «волновой зоны», т. е. области, удаленной от источников на расстояния, большие по сравнению с длиной испускаемых волн, то в ней сходимость ряда приближений, вообще говоря, нельзя однозначно гарантировать. Между тем именно этот случай и составляет область применимости метода Айзексона — Брилла — Хартла. Критичность ситуации усугубляется еще отсутствием надежных экспериментальных данных о свойствах гравитационных волн, вследствие чего желательность строгого доказательства сходимости рядов последовательных приближений в волновой зоне становится особенно настоятельной.
Наконец, каждый из рассмотренных методов приближений предполагает выбор определенной системы координат (или класса допустимых систем координат), существование которых не может быть гарантировано а priori в заданном поле тяготения. Так, например, при рассмотрении гравитационного излучения изолированной аксиально симметричной системы тел методом Бонди оказывается
39 неприменимой гармоническая система координат, которая, наоборот, успешно применялась В. А. Фоком к описанию гравитационных волн методом разложения потенциалов в ряд по параметру 1 1с. Причиной этому служит появление логарифмического члена г-1 log г вместо 1 /г в разложении гравитационных потенциалов, что исключает предельный переход к метрике Шварцшильда (Боннор [И], Айзек-сон и Виникур [44]). Вследствие этого для достаточно больших расстояний от изолированного источника гравитационного излучения волновое решение линеаризованной теории тяготения в гармонических координатах не может служить первым приближением к точному волновому решению, хотя на расстояниях, значительно меньших длины распространяющейся волны, это описание оказывается удовлетворительным [45, 46].
Между тем уравнения поля тяготения общековариант-ны. Поэтому всякое физическое следствие теории должно допускать общековариантную формулировку. В связи с этим нашей ближайшей задачей будет рассмотрение строгих общековариантных методов описания гравитационных волн. В качестве отправного пункта мы рассмотрим проблему Коши для уравнений тяготения Эйнштейна.
В дальнейшем будет удобно отличать понятие гравитационных волн от понятия гравитационного излучения. С гравитационными волнами мы будем связывать поле в собственно волновой зоне, где оно не взаимодействует с источниками. «Гравитационным излучением» мы будем чаще называть общее гравитационное поле источника, порождающего волны. В случае пустого пространства — времени гравитационные волны мы будем называть свободными.
ГЛАВА 2
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
1. Уравнения Эйнштейна как система гиперболического типа
Строгая постановка проблемы гравитационных волн в общей теории относительности стала возможна лишь после того, как де Дондер [47] и Ланцош [48] доказали, что система уравнений Эйнштейна — это система гиперболического типа, т. е. что ее характеристики совпадают с
40 характеристиками волнового уравнения вида *)
?Ф = -^= d? ((2.1)
V —g
Действительно, уравнения Эйнштейна в пустом пространстве
Rv, = о (2.2)
можно тождественными преобразованиями (см., например, 19]) привести к виду
4 ga|V,a3 + Гц, - V = о, (2.3)
где введены обозначения
= (2.4)
Tp = ^r0, = (2.5)
так что члены Lixv выражаются только через компоненты метрического тензора и их первых производных:
Lpv = Sa^ Sp0Sya^Spv,а — (2.6)
Перейдем в данной области пространства — времени в специальную систему координат, выбрав в качестве новых х° четыре решения уравнения (2.1):
GX0 = Г° = -J7L= (Y=gga\? = 0. (2.7)
Такую систему принято называть гармонической системой координат. В ней уравнения (2.2) примут вид
Y Sa?S^,a? -Lllv = O. (2.8)
Как известно, характеристики системы уравнений в частных производных определяются только коэффициен-ками при высших производных. В нашем случае такими чоэффициентами служат сами компоненты метрического тензора Но матрицу можно в любой точке пространства — времени неособенным преобразованием коор-
