Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Значительный шаг вперед на пути преодоления этой трудности сделал Айзексон [37, 38], применив метод аппроксимаций Брилла — Хартла [39] к описанию так называемых гравитационных волн «высокой частоты», распространяющихся на фоне сильно искривленного пространства—времени. Идея метода основана на разложении величин Alxv, т. е. добавочной части к метрике фона в ряд по степеням малости отношения 8 = Z/L, где I — характерный размер волнового возмущения (интерпретируемый как его «длина волны»), a L — характерный размер гравитационного поля фона, условно сопоставляемый «радиусу кривизны» фонового пространства — времени х). Этот метод является обобщением рассмотренного выше метода Боннора. Так как 8 имеет порядок (Z2Wr3)1/*, то гравитационное излучение изолированной системы на больших расстояниях г от нее всегда можно рассматривать как «высокочастотное излучение», отвечающее случаю L оо.
Согласно строгому определению, пространство — время V4 с метрикой описывает гравитационные волны высокой частоты, если оно допускает однопараметрическое семейство координатных систем, связанных между собой инфинитезимальными преобразованиями группы Ли G с параметром 8, в которых ^v принимает вид
ftiv (х) = Tvtv (X) + BAvlv (я, е) (8<1), (1.26)
Малость отношения 8 = IlL и интерпретируется как относительная коротковолновость (высокочастотность) бегущего возмущения т. е. волны на фоне искривленного пространства — времени.
2* 35гдё
V =0(1), даг^ = O(I)1 aa?Tlw = 0(1), (1.27) V=O (1), даAvw = 0 (8"1), SapAvw = О (8"2). (1.28)
Условия (1.27) означают, что кривизна метрики фона Yltv имеет порядок малости единица, т. е. фоновое пространство — время является искривленным и его тензор Римана
-?o?vS — fioc?vb (T\jlv) = 0.
Однако из условий (1.28) следует, что полная кривизна пространства F4 по порядку величины может даже превосходить кривизну фона
Ra?MU* + BAviv) = Raltb + + 6? + ..., (1.29)
где
^a?YO = ~2 Q1OLy;?S + — h?y;oc5 — Aa5;?Y -f-
+ ^aay 5 A? — i??oY5Aa).
Здесь ковариантное дифференцирование выполняется относительно метрики фона Yjxv, с помощью которой производится поднятие и опускание индексов. В разложении (1.29) второй член
eAgl^Off1)
по порядку величины превалирует над остальными, так как, например,
B2RiSyb ~ 0(1), « О (8)
и т. д. Аналогично, для тензора Риччи i?a? полной метрики получаем разложение
Aa? (V + BAvtv) = + 6+ е2 + • • •,
где
Ra? = -Ra? (Tvtv)»
Ra? = ^a?;px — ATa;?p — AT?;ap),
причем превалирующим по порядку величины также 36является второй член
вД?Л»0(е-1),
тогда как
Отсюда следует, что уравнения поля в вакууме в приближении первого порядка будут иметь вид
0, (1.30)
в приближении второго порядка — вид
(1.31)
и т. д. Вводя величины
= Aviv — Y TlXvA, ф = та%,з,
где А = Ya?Aa?» можно представить уравнения (1.30) первого приближения в виде
- Ivr^a? - ^;v? - fe + 2+
+ + M0o^ = O, (1.32)
где ковариантное дифференцирование выполняется также относительно Yj1v. Для случая слабого гравитационного поля, определяемого метрикой (1.2), функции xpjlv переходят в ранее введенные функции I^v.
Чтобы привести уравнение (1.32) к стандартному виду волнового уравнения относительно потенциалов <p^v, необходимо показать, что второй, третий и четвертый члены в этом уравнении могут быть устранены преобразованием «калибровки», т. е. выбором подходящего генератора ^ группы Ли G, индуцирующей допустимые преобразования
A1XV == Aviv — ^vXjv —
и не меняющей первого члена в (1.32).
Для доказательства воспользуемся формулами, выражающими связь тензоров Дар и Rafryb с увлеченными тензорами [40] и i?aPv5:
^ a? = Aa? — a?, ^a?vS = RaLfrb —
37где — символ производной Ли в направлении генератора группы G. Пользуясь формулами для производных Ли от тензоров Ra? и йаруь (см., например, [41]), можно показать, что величины и второго по-
рядка малости по е, т. е. в приближении высокой частоты (е 0) тензоры i?a? и i?i?Y5 не меняются при преобразо-ваниях группы G («калибровочно-инвариантны», [37]). Используя закон преобразования величин а 0? при инфинитезимальных преобразованиях группы G (х* +
выберем Sia так, чтобы удовлетворялась система уравнений
Ta0W - = fc«. & = - 4
Тогда, очевидно, в новой координатной системе будут выполнены условия
= 0, ф = 0, приводящие уравнения (1.32) к искомому виду
- A^v EEE Ta?^v;a? + 2+ + =
(1.33)
(00)
В случае плоской метрики фона, у^ = gjxv, в силу равенства = 0 все добавочные к YaN5H*; a? члены
исчезают, и мы возвращаемся к ранее рассмотренному волновому уравнению (1.12). Для неплоской метрики у^ левая часть уравнения (1.33) представляет собой обобщенный топологический даламбертиан де Рама [42], легший в основу определения волновых гравитационных полей х), предложенного Лихнеровичем [43].
Таким образом, гравитационное излучение на фоне искривленного пространства — времени получает изящное определение в пределе высокой частоты.
Строгий подход к определению гравитационных волн на основе оператора де Рама рассматривается в гл. 8.