Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это разложение в уравнения поля в вакууме
tfa?=0
и приравнивая к нулю коэффициенты разложения при Tn3V, получаем систему 10 дифференциальных уравнений второго порядка, называемую «уравнениями поля в р$-приближении»:
(ps) (ps) (qr)
Фаз Ы = lFap (ft*) (g < P - 1, Г <*). (1.20)
(ps)
Левые части их линейны по g^xv (и их производным),
а правые части — нелинейны по g^ (и их производным), известным уже из приближения предшествующего порядка.
29 Очевидно, приближение 00 отвечает метрике плоского
(00)
пространства — времени: ga? = ga?. Все приближения
(is)
порядка Is линейны и однородны по ga ? и их производным:
и, следовательно, эквивалентны рассмотренным выше приближениям Эйнштейна — Инфельда — Гофмана. Приближения jps-порядков с р > 2 нелинейны: 2з-приближе-ния отвечают второму порядку малости (5 = 0, 1, 2,...), Зз-приближения — третьему порядку (5 = 0, 1, 2,...) и т. д.
Решение уравнений тяготения в линейном приближении в виде разложения в ряд по мультиполям дается формулами (1.16). В принятых нами обозначения* (1.19) оно может быть записано в виде
(00) ~ (is)
ga? = goi? + 2j ma>S Soi?, 6=0
(H)
где дипольные члены отсутствуют {ga? = 0), монопольные (10) (00) (10) члены ga? (т. е. статическая часть, ga? + mga?) отвечают линейному приближению к метрике Шварцшильда, а чле-
(12) (13) (18)
ны ga?> ga?f'9 g a?»-- называются, COOTB ЄТСТВЄННО, квад-рупольными, октупольными,..., 28-мультипольными волновыми решениями в приближениях ls-поряд ков. Это отвечает определению 23-мультипольного момента аксиально симметричной системы источников, линейно распределенных вдоль оси симметрии,
Q(8)(u) = mashi8)(u), (1.21)
где M = J — г, а коэффициенты Ы8) (и) не зависят от т и а.
Для определения порядка приближения, в котором изолированная система источников обнаруживает вековое изменение массы вследствие излучения гравитационных волн, рассмотрим нестационарную систему, допускающую (при а 0) предельный переход к стационарному полю точечного источника (полю Шварцшильда). Наиболее
30 простой системой такого рода является аксиально симметричное распределение конечной длины *), описываемое (в сферических координатах г, 0, ф, t) метрикой
ds2 = dr2 — г2 (В de2 + С sin2 0 d(p2) + D dt2,
(1.22)
где A1 B1C1D- функции г, 0, t. Записывая для этой метрики уравнения поля (1.20) в ^-приближении и интегрируя их (Розен и Шамир [19], Боннор [17]), получаем:
OA = P-^ (M1 + г~гМ) dt -
- J ((L1 + г-Щ - J (AT11 + T-W1) dt) de - (Tll + г-Ч,) +
+1 (ви + ''S) dQ - (X1 + T-1X), (1.23?
С = - A coses2 0 J [2л + I24 + r (J M dt + ті)] dr + + r^tjsin 0 cos 0 d0+cosec2 0 ^ N dt + s)sin20 d0+jicosec2 0,
B = -C + + r (^Mdt+ п^Йг + г-Ч,
D=A + rl[2r~2A + г"1 Ц (L - J Nxdt - 6l)d8 + x}]A\+rvf
где D — оператор Даламбера в координата!х г, 0, ф, t; P1 M1 LnN — правые (нелинейные) части уравнений (1.20), предполагаемые известными из gr-приближения
(q<P — 1, г < 5):
P = T11, M = W101 L=W121 N = W20;
для остальных значений индексов а и ? уравнения (1.20) обращаются в тождества; наконец, т) (г, 0), а (г, 0), X (г, ?), т(0, t), V (0, ?), |i (г, t) — шесть функций интегрирования, выбором которых можно удовлетворить требованию евклидовости на бесконечности и добиться отсутствия сингулярности метрики на оси симметрии. Индекс 1 в уравнениях (1.23) обозначает дифференцирование по г.
*) Примером такой системы являются две равные точечные массы, соединенные пружиной и совершающие симметричные осцилляции.
31 Таким образом, решение уравнений ps-приближения для метрики (1.22) сводится к интегрированию неоднород-
(PS)
ного волнового уравнения для функций А, после чего из остальных соотношений системы (1.23) автоматически следу-
(ps) (ps) (ps)
ют выражения для C1 5и0. В частности, для линейного приближения ls-порядка функции P1M1NnL оказываются равными нулю в силу (1.20), и мы получаем рассмотренное выше однородное волновое уравнение для функций TjJ0bp.
Величина изменения энергии системы источников в ре-приближении оценивается методом Бонди [20], осно-
(ps)
ванным на разложении коэффициентов ga ? в ряд по обратным степеням параметра г:
2 r-"o\e, и) (и = t— г). (1.24)
71=1
Гравитирующую массу системы можно оценить, установив соответствие между данным стационарным решением и эквивалентным полем, которое создавалось бы некото-
(ps)
рой шварцшильдовской массой; в членах 1Fap достаточно
(ре)
ограничиться коэффициентами при 1 Ir1 а в членах ФаР уравнений (1.20) — соответственно коэффициентами порядка не выше 1 /г3. При этом нужно учитывать только члены, описывающие вековое изменение состояния системы
(ps)
за период At1 отвлекаясь от членов gaкоторые не изменили своего вида в результате осцилляции. Так, все чле-
(PO)
НЫ gafl описывают только постоянную (не меняющуюся за период осцилляции) составляющую поля системы, т. е. приближение рО-порядка к собственно метрике Шварцшильда (полю центральной массы Tn1 для которой линейный размер а = 0). Отсюда, в частности, легко понять, почему разложения только по параметру т или X не описывают гравитационных волн.
