Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Время относительного запаздывания, детерминант преобразования ц фотометрическое расстояние между наблюдателем и излучающим элементом записываются в виде
где za ~ [ение линзы,
Ф(0 = SffiAi7, (5.83)
? в данных формулах можно считать геометрической длиной вдоль критической кривой.
5.2.6. Расчет степени взаимной когерентности
Область интегрирования в формуле для взаимной когерентности можно мысленно разбить на две части. Одна из них - Afo - представляет собой узкую полосу, примыкающую к критической кривой. В пределах этой полосы справедливы приближенные формулы (5.82). Ее ширина строго не определяется. Необходимо только, чтобы при перемещении вдоль координатной линии rj от критической кривой до ее границы фазовый множитель expfiwJt} успевал совершить достаточно большое число колебаний. В соответствии с вышесказанным, интегрирование по этой области дает основной вклад в степень когерентности, в то время KciK результатом интегрирования по остальной части поверхности источника можно пренебречь. С учетом этих соображений в результате перехода к безразмерным переменным в интеграле формулы (5.66), замены х = [Ф(0]2^3'? и после перехода от двойного интеграла к повторному получается
7.J
= -4== r*/(x)exP(tfiX3/2)x~1/2dx, (5.84)
2JItIj Jo
fix) = [ЫХ) J(Ix)Ф2/3(0^,
JiAx)
(5.85) Взаимная интерференция изображений 145
/ = (Dd/Ro)2, fi - безразмерная константа'- П = 16г9(1 + zg)u/Зс, ?i(x) Cy) - граничные точки области излучения на координатной линии х, * _ координатная "ширина" области Д<то. Сделаем замену р = х''2, тем ^aHым> возникает задача вычисления интеграла
/ = f' F(p2)exp(iUp3)dp. (5.86)
Jo
длЯ вычисления этого интеграла используем подход, предложенный Гил-„ором (1984). Предполагаем, что
F(p2) = со + с2р2 + С4Р4 + ... . (5.87)
Почленно интегрируя, сводим задачу к вычислению интегралов
/•p. /-O1^3P.
/ р2к ехр(г'Пр3) dp = Ji-C1 /3+2fe/3) / y2fceXp(ty)tiy. (5.88)
Уо ^o
Сделаем замену у
= U1I3p. В случае, если П >> 1, необходимо вычислить
интеграл
POO
hk = / y2kexp(iy3)dy. (5.89)
Jo
Рассмотрим интеграл в комплексной плоскости по замкнутому контуру, который является сектором круга с центром в начале координат радиуса R- Начальный угол выбираем равным фо = 0, конечный - равным ф/ = тс/6. Т.к. функция у2к exp(iy3) не имеет полюсов в этой области, то интеграл по этой области равен нулю. С другой стороны,
г R
О = I = x2fc exp(Jx3)Cte + Jo
rir/6
+ / Д2к+1 exp(j(2fe + l)</»)exp[«i?3(cos3</> + і sin 3</>)]j c?</> + Jo
Ґ
+ / R2k exp(»2feff/6)exp[«i?3(cosit/2 + «sin7c/2)]exp(t7c/6)dR.
Jr
Нетрудно видеть, что при R —? оо
рг/6
/ Rlk+1 exp(«(2fc + 1)</>) exp[i?3(cos3</> + j sin 3</>)]t с?</> -»• 0. (5.90) Jo
Действительно, разобьем этот интеграл на два интеграла
[*/в гф, ртг/6
/ R2k+1 exp(i(2k+l)ф)exp[iR3(cosЗф + isinЗф)]idф= +/ Jo JO J4,,
10-2441 147 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
где угол ф, выберем ниже. Ясно, что при R —? OO
ІЧГ/6
I / Я2к+1 exp(i(2fc + 1)</>) exp[jfJ3(cos3</> + t sin3</»)]t d</i| < J Ф.
< Я2*+1 exp(—Я3 sin3</>,)ff/6 0 (5-9і)
гФ*
I / Я2*+1 exp[«(2fe + 1)<Дехр[»Я®(со8 3<?+ jsin3</.)]«d</.| < R2k+1 ф,. Jo
И, если выбрать ф, = 1/Д2к+2, то последний интеграл также стремится к нулю при R оо. Т.о.,
І2к = exp
t(2fc + 6
t(2fc + 6
ГОО
/ я2" Bxp(IfJ3)Iij/ = exp Jo
где Г(х) - Г-функция Эйлера. Т.о., получаем
/ = E C2fc exPf'(2fe + 1)^/6]|Г (^j") •
lp/2fe + i З
(5.92)
где Cfc - коэффициенты разложения в ряд Маклорена функции F(p). Поэтому с точностью до первого члена разложения имеем выражение для взаимной когерентности
(і) 1 712 ' =
4
3 \ Ui-
:ехр(мг/6)/(0)Г( І
16гр Зс
(1 + ZG)w
-1/3
Если учесть два члена разложения, то получим
.у12(2) - -..О + eXP(»ff/6)/'(0)
712 ~712 + з^ЦП
16 Гд
Зс
(1 +2G)W
-7/3
(5.93)
(5.94)
С использованием леммы Эрдейи выражение (5.93) получено в работе Ман-джоса (1991а). Выражение для 712'1' может быть получено также, используя асимптотику интеграла :
F(X) = JJ /(*. У) ехр[»А(ух2 - у3)] dxdy, (5.95)
где функция f(x, у) имеет компактный носитель. Асимптотика данного интеграла вычислена в книге Федорюка (1977).
Следует обратить внимание на зависимость взаимной когерентности от частоты 712'1' ос ш~1/3. Это обстоятельство "обеспечивает" возрастание взаимной когерентности на несколько порядков по сравнению с точечной гравитационной линзой 712 ос о»-1 (Верхоглядова и Манджос (1989)). В работе Манджоса (1991а) приведено выражение для взаимной когерентности взаимная интерференция изображений
--------
147
аКэШего диска однородной яркости и малых размеров (радиус диска й3®^ Pi0у Нетрудно заметить, что из (5.93) можно вывести следующую
Но
формУлУ:
Vl-S2 —1/12 г> -1/2 -1/3 Ciroc*
X --/ , Ч-/ , X 'w ' ; (5.96)
где S € [—li+l]i KhS- полные эллиптические интегралы соответственно 1-го и 2-го рода, з - расстояние центра диска до критической кривой, выраженное в радиусах диска. Величина s < 0, когда центр диска с "положительной" стороны от критической кривой, и з > 0, если с "отрицательной". Близкая окрестность точки s = +1 исключается, т.к. она соответствует ситуации, когда в формировании изображения принимает участие лишь узкий серп диска. В этом случае неприменим метод стационарной фазы, и, следовательно, несправедливы соответствующие соотношения. При S = I степень когерентности в рамках данного приближения обращается в нуль. В формуле (5.96) обращает на себя внимание очень слабая зависимость степени когерентности от массы линзы - 712 ос гд~1!12. Зависимость от размеров объекта существенно сильнее - 712 ос Rq~1!2 .
