Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
что каустика всегда является стационарной линией интеграла в займи . когерентности. Этим самым мы доказали достаточную часть утверЖЛ( ния. Переходим к доказательству необходимой части. Пусть отрезок крй вой Т1Т2 , пересекающей объект, является стационарной кривой интегра.^ взаимной когерентности двух изображений. Соответствующее отобра^ ние этой кривой Т'іТ'2 на плоскость линзы является, согласно (5.77), общ^ линией у этой пары изображений. Предположим также, что (1) для казкдо, го из изображений эта линия не является изолированной; (2) у этой парц изображений нет общей двумерной области. Тогда из формул (5.77) следу. ет,что отрезок кривой Т'іТ'г является общей границей этих изображений. Мы, разумеется, предполагаем, что производные от St по ? и rj существуют в окрестности кривой Ti Тг- Поскольку вне кривой эти производные отличны от нуля, то в силу формул ,(5.77) каждая точка в окрестности каустики отображается на две точки, расположенные по разные стороны кривой Г/T2'. В этом случае, если точка этой кривой не является критической, то якобиан отличен от нуля, и отображение линзы взаимно-однозначно, что противоречит взаимной неоднозначности отображения вблизи этой кривой. Это можно доказать, используя координатное представление. Обратимся к уравнению линзы. Разложим его в точке Р'о , расположенной на кривой Т'іТ'2, в ряд, ограничиваясь линейными членами разложения
*" =(S)0 (х"хо)+(S)0 {у -уо)+°2' (5-78)
fI-fI" = (P) (х~хо)+(Р) (у-уо ) + 02. (5.79)
dxJa Vdy/о
Из факта существования пары изображений для произвольной точки в окрестности Т1Т2 следует, что детерминант этой системы равен нулю:
(э?)о (ву)0
.0Wo
(If)0
¦ 0. (5.80)
В противном случае линейная система (5.78) - (5.79) имела бы только одно решение для (х — хо) и (у — уо), а это противоречит тому, что каждой точке на плоскости объекта соответствует пара изображений. Из равенства (5.80) следует, что точка P0 является критической. Т.к. подобные рассуждения можно провести относительно любой точки кривой T'lT'2, то отсюда следует, что эта кривая является критической. Т.к. критическая кривая всегда однозначно отображается на каустическую, то, следовательно, кривая Т1Т2 является каустикой линзы. Тем самым доказана вторая часть утверждения, т.е. только каустика может быть стационарной кривой интеграла взаимной когерентности двух изображений в гравитационной линзе.
Следует заметить, что справедливо утверждение о том, что каустика и только каустика (естественно, с некоторыми ограничениями на класс рассматриваемых функций) является стационарной кривой соответствующего взаимная интерференция изображений
5-2-__——¦
143
„,,осциллирующего интеграла для общего случая оптических систем б*1 и др. (1984)). Однако в данном случае (гравитационной лин-
) можно привести простое (с технической точки зрения) доказательство Iroro факта.
2 5. Решение уравнения линзы в окрестности критической точки
гт я вычисления интеграла методом стационарной фазы необходимо знать поведение подынтегральной функции в окрестности стационарной линии, которой является отрезок критической кривой, пересекающей объект. Решение ургшнения линзы можно записать в общем виде. Рассмотрим окрестность некоторой точки О, расположенной на критической кривой Сд в плоскости объекта, и окрестность точки О', являющейся отображением точки О на плоскость линзы. Предполагается, что точка О - обычная точка критической кривой (не являющаяся точкой возврата), а точка О' при этом лежит вне распределенной массы линзы. Здесь же введена система локальных безразмерных координат 17 с началом в точке О и с ориентацией оси ? по касательной к критической кривой С я, а также локальные координаты х, у с началом в точке О' и с ориентацией оси х по касательной к кривой C'R. Универсальное решение ургшнения линзы в окрестности критической кривой, спргшедливое практически для любой линзы, которой соответствуют критические кривые в плоскости объекта, згшисывается в виде (Шнайдер и Вгійсс (1986))
где все величины выражаются через производные скаляра ф, взятые в начале координат А, у,
Два знгіка в формулах для х, у соответствуют двум ветвям локгшьного решения, что приводит к образованию пары соприкасающихся изображений Протяженного объекта. Действительно, при стремлении излучающей точки S к точке О оба ее изображения , SL стремятся друг к другу и од-й°временно к точке О'. Отсюда следует, что тесная пара изображений объекта, пересеченного критической кривой, будет иметь общую границу в виде отрезка Т[T2' критической кривой в плоскости линзы. Еще раз напомним, что мы проводим рассмотрение вблизи особенности типа складки. Кроме того, действительное решение ургшнения линзы существует только Яля излучающих точек с той стороны критической кривой Cr, где выпол-Пяется нергшенство
±Л*> 0. 145 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
Условно можно назвать ее положительной стороной. При изменении з^ ка координаты rj, т.е. при переходе излучательной поверхности на 0т рицательную сторону кривой Cr, решение становится мнимым, что ответствует исчезновению изображений ЭТОЙ ТОЧКИ. Это обстоятельств приводит к тому, что только та часть объекта, которая расположена "положительной" стороны критической кривой, принимает участие в ф0р_ мировании соприкасающейся пары изображений. Остальная часть объекта никакого вклада в эти изображения не вносит. Поэтому интегрирование в формуле (5.69) распространяется фактически только на "положительную" часть поверхности источника.
