Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
70 =-Tg=, Ttj= [(5.69)
V1-1J JOJ /і ой.») I |р».ч)|
у I Dt^l1 I DKy) Ij
HJiiSr- (5та>
I ?>(*.») Ii
Величину Го будем называть интегралом взаимной когерентности. В формуле (5.70) можно перейти от интегрирования по поверхности объекта к Интегрированию по поверхности изображений
'-JJ
dxdy. (5.71) 140 Глава 5. Волновая оптика гравитационных n
--—л«^
5.2.4. О стационарных кривых
Интеграл взаимной когерентности относится к классу двумерных ицт гралов с быстро осциллирующим множителем в подынтегральной фу^ ции. Смысл выражения "быстро осциллирующий" заключается в том, 4tq в пределах области интегрирования <г величина ш8Ь(?,т}) пробегает 6o;tlj шой диапазон значений, в большое число раз превышающих п. Численне* интегрирование таких интегралов очень сложно, а точно взять этот инте грал, KciK правило, не удается. Поэтому следует обратиться к специальным асимптотическим методам приближенного вычисления интегралов такого типа. Мы воспользуемся здесь методом стационарной фазы. Хотя этот метод представляет собой чисто вычислительный прием, однако применение его позволит сделать нам ряд принципиальных выводов относительно эффекта взаимной когерентности изображений. Итак, рассмотрим двумерный интеграл с быстро осциллирующим множителем в подынтегральной функции
J= Js JF(x, у) ехр[г'ЙФ(х, y)]dxdy, (5.72)
где П >> 1 - безразмерная величина. Метод стационарной фазы позволяет получить асимптотическое разложение интеграла (5.72) по степеням (не обязательно целочисленным) величины 1/П. При этом центральная идея этого метода заключается в том, что основной вклад в интеграл дают окрестности т.н. стационарных линий, в каждой точке которых выполняются следующие равенства:
^M=O, ^M=O1 (5.73)
дх ду
т.е. каждая точка стационарной линии является критической точкой фазовой функции Ф(х, у) по определению. Помимо стационарных линий могут существовать и изолированные стационарные точки. Важно то обстоятельство, что интегрирование по остальной части области S, т.е. вне окрестностей стационарных кривых и стационарных точек, дает пренебрежимо малый (и оцениваемый) вклад в общую величину интеграла. При вычислении интеграла типа (5.72) методом стационарной фазы прежде всего определяются стационарные точки и стационарные кривые этого интеграла в области интегрирования S. Существует много способов вычисления основной части этого интеграла в результате интегрирования в окрестностях стационарных кривых и изолированных стационарных точек. Кроме того необходимо сделать оценку остальной части интеграла. Проанализируем ситуацию, связанную с интегралом взаимной когерентности (5.69), с использованием метода стационарной фазы. Оказывается, можно сделать общие выводы относительно стационарных кривых этого интеграла-Фазовая функция этого интеграла имеет вид
Stt3 = ^(1 + Zd)S j і(г - О + </>(о} , (5.74) j 2 Взаимная интерференция изображений
141
_ гравитационным радиус (радиус Шварцшильда) всей линзы, Zd -гпе "ял
KPaclioe смещение' ~~ вектор, определяющий координаты излучающе-
66 элемента на плоскости объекта, г - вектор, определяющий координаты
f^qKH пересечения плоскости линзы световой траекторией, идущей от это-
эпемента к наблюдателю; ф - скалярный потенциал линзы; г, j - номера
ддух изображений. Операция Sf(x, y)tJ обозначает следующее:
if(x,y)ij = f(X],Vj) - f(xi,Vi), (5.75)
r e разницу значений функции / в точках г-го и j-ro изображений. Тогда экстремальные точки фазовой функции <5t[?, rj, rj), ^)]:
+g !><• - ^ -«+SiS+ь -,+gig - с - oh, =
с
Выражения, заключенные в квадратные скобки, равны нулю в силу уравнения линзы. Аналогично вычисляется величина dStij/d?. В результате имеем
BSti1 2г„ .„ .. dStij 2г„ ., .. _„.
-^l =---(1 + zd)6xij, =--Ці + zd)6yij. (5.76)
0% С arj с
Следовательно, в стационарных точках интеграла взаимной когерентности (5.72) имеем
SXij=Xi-Xj= 0; Syij = yi - у3 = 0. (5-77)
Формулы (5.77) говорят о следующем: таи только та точка г} излучающего объекта будет стационарной точкой интеграла взаимной когерентности Двух изображений, отображения которой совпадают в этих изображениях. Короче говоря, изображения точки т} - х,, yi и х3, у3, должны совпасть. Тогда точка ?, rj - стационарная точка интеграла взаимной когерентности Для пары изображений і и j. Из этого можно сделать и более конструктивный вывод:
Утверждение: стационарными линиями интеграла взаимной когерентности являются каустические и только каустические кривые гравитационной
линзы.
Докажем это утверждение. Как хорошо известно, любой точке в окрестности каустики соответствует пара изображений в окрестности критиче-cicOft кривой. Эта пара изображений расположена по разные стороны от кРитической кривой и при стремлении излучающей точки к каустике слива-Єтся в одну точку на критической кривой. Т.о., каждая точка критической кРивой является общей точкой двух протяженных изображений. Следовательно, критическая кривая является границей двух изображений протя-aceHHoro объекта, пересеченного каустикой. Отсюда в силу (5.77) следует, 142 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
