Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
В безразмерных единицах уравнение линзы принимает вид (значки над координатами здесь и далее опускаем)
? = г + Vt/>. (5.61)
Уравнение (5.61) осуществляет отображение точек плоскости линзы на точки плоскости объекта. Локальное отображение осуществляется с помощью матрицы Якоби:
? = ASr, А =
ЭЛ
ду _ ( 1 + </>п </>12 ^ 4 ]-{ Ф21 I+V22J' (562) ду
д2ф
здесь </>,_, = -—-—(t, j = 1,2). Мы будем рассматривать здесь линзы, пред-
ox t ('уj
ставляющие собой системы точечных масс. Вне точек, где расположены эти массы, имеет место равенство (см., например, Шнайдер и Вайсс (1986)) ^22 = —фц. Введем далее обозначения: фц = и; ф\2 = v. Коэффициент Усиления линзы !л, т.е. отношение плотности потока излучения, принимаемого наблюдателем, к той плотности, которую он бы принимал в отсутствии линзы, равен
/j = 1 /det А = 1/(1 — и2 — и2). (5.63)
Кривая плоскости линзы, в каждой точке которой коэффициент усиления ЛИнзы (л обращается в бесконечность, называется критической кривой. В 138 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
этом случае уравнение критической кривой имеет вид I-U2-D2 =0. Kp вая, являющаяся отображением критической кривой на плоскость объекТа называется каустической кривой или просто каустикой. Заметим, что иц0' гда используется другая терминология, каустику называют критическое кривой на плоскости линзы. Следует сделать два замечания относительно каустик. Поскольку взаимная однозначность отображений в точках Kpl1 тической кривой нарушается, тем самым, имеется особенность гладкоГо отображения. Особенностью гладкого отображения наименьшей коразмер. ности (кривая на плоскости) является складка (Арнольд (1986, 1990)), Те)>1 самым, и каустика в случае общего положения является складкой. Крц_ тическая кривая может иногда отображаться на плоскость объекта в виде точки, т.е. это случай, когда каустика вырождается в изолированную точ. ку. Такая ситуация имеет место в случае одноточечной линзы. Нетрудно увидеть, что такая особенность является структурно неустойчивой, т.е. при малом шевелении параметров задачи исчезает (или превращается в сборки и складки), поскольку, согласно известной теореме Уитни, устойчивыми отображениями при гладком отображении поверхности на плоскость могут быть только сборки и складки (см., например, Арнольд (1986, 1990)). 5.2.3. Общие положения
Если один и тот же объект имеет несколько изображений в гравитационной линзе, то в случае когерентного сложения напряженностей полей излучений, приходящих ото всех изображений, плотность суммарного потока излучения I равна
п и
1 = JLli + 2JL (5-64)
1=1 1=1
где Ii - плотность потока г-го изображения, -j4 - степень взаимной когерентности г — j пары изображений, фч - фаза этой величины, как комплексного числа. Суммирование ведется по всем парам изображений. Второе слагаемое в этой формуле будем называть интерференционным компонентом потока. Степень взаимной когерентности Jlj пары изображений является ключевым теоретическим понятием в этой проблеме, и мы на нем прежде всего остановимся. По определению (см. монографию Борна и Вольфа (1973)) эта величина равна
•fij = -^=<ViV3,>, (5.65)
VlilJ
где K1J - напряженности поля излучения соответственно г-го и j-го изображений, < ... > - знак усреднения по времени; Vi - мгновенное значение напряженности поля излучения, представляющее собой результат сложения мгновенных напряженностей полей излучения, приходящих от всех излучающих элементов объекта, что, разумеется, относится и к величине V, с той только разницей, что Vi определяется излучением, распространяющимся по траектории і-го изображения, a Vj - по траектории j-го изображения. При 7 і]
взаимная интерференция изображений _139
5------
будет предполагаться, что каждый элемент объекта излучает стати-' ячески независимо от других. Следуя рассуждениям Борна и Вольфа ж>73) степень взаимной когерентности двух изображений может быть зассана в форме
= 1 Г ГяШ.П)]- J(^ri)
SurJJ ?)
где интегрирование ведется по всей излучающей поверхности объекта;
^ - поверхностная яркость источника в системе отсчета наблюдателя; Яф'(?і*?) ~~ фотометрическое расстояние между излучающим элементом и наблюдателем с учетом действия линзы для г-го изображения;
ЩІ, п) = Ш,п)~ Ht,п)
- относительная временная задержка между сигналами, распространяющимися по траекториям двух изображений, измеренная в системе отсчета наблюдателя; принимаемое излучение квазимонохроматично со средней циклической частотой ш; g[<5t(?, rj)] - коэффициент ослабления взаимной когерентности за счет относительного фазового сдвига, превышающего время когерентности; д(0) = 1. Поток излучения определяется интегралом
I= Г Г (5.67)
Теория гравитационной линзы дает общее выражение Для фотометрического расстояния между излучающим элементом (?, rj) и наблюдателем
Дф it,4) =Dd
- пЛ2
Djtn)
D(x,y)
1/2
(5.68)
где Dd - расстояние между линзой и наблюдателем, pjf/y] - матрица Якоби линзы. Величина Dd в формуле для I4 сократится. Удобно перейти к безразмерным координатам ?, rj и х, у (обозначения не изменяем). При этом масштабные факторы в выражении для ~/tJ тоже сократятся. Тогда можно записать в безразмерных переменных
