Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку электрическое поле связано с тензором электромагнитного поля Foa = Ea, то электрическое поле, измеряемое наблюдателем, определяется преобразованием Фурье функции
E(Oj) = A' f C(wl4)V(wl4)A, и' = лф(0)), (5.32)
JSOUfCC
т. е.
/+OO
Ё( ш)е"ш'с1ш, (5.33)
-OO
тогда для магнитного поля имеем соотношение B = Exe. Поскольку вектор электрического поля E(t) действителен, то Е(— w) = E (w). Т.о., вся информация об электромагнитном поле содержится в функции Е(ш) при W > О или, что эквивалентно, в функции
/•+ OO
E+(t)= / jE(w)e-,u,tdw, (Е = 2ПеЕ+). (5.34)
Jo
Поскольку процесс излучения зависит от множества деталей, информация о которых недоступна, то обычно предполагается, что этот процесс описывается на языке случайных функций. Для квазистационарного источника, как обычно предполагается в теории гравитационных линз, измеряемый наблюдателем поток излучения определяется усреднением по ансамблю
\ I./во
V(w,tj)C(w,4)d"
(5.35)
или иначе:
Sul=A" J AAV*(w,r7)V(w,r7')(C*(w,tj)C(w,tj')>. (5.36)
Предполагая, что различные источники излучают некогерентно, т.е.
(C*(w, tj)C(w,tj')) ос L(v)S(v - Ti'),
(5.37) § I. Предварительные сведения 131
чаем поток излучения, выраженный через поверхностную яркость ис-0ОЛУ т / \ J04BHKa Iu(V),
= A"' Jd2r?|V>, 7,)12^^). (5.38)
gсЛЯ, KclK и ранее, ввести вместо переменных TJ, ? переменные ж, у, ТО MO-JjtHO получить следующее выражение для потока излучения через поверхностную яркость источника:
Su=A J d2y|V>, у)I2Zbi(W), (5.39)
ГДЄ Vr = /Д2 d2xe,f^x'y\ а безразмерные переменные Я, у и безразмерный потенциал Ферма ф были введены ранее. Тогда для большой численной константы можно использовать соотношение
¦(1 + Zd)& = ?- 2 \x(zd) - x(z.)]-\ (5.40)
u Ds J с DdDdt
где x(z) ~ космологическая функция, введенная ранее.
В том случае, когда нет гравитационной линзы, ф(х,у) = |(ж — у)2, передаточный множитель определяется выражением
V = Jdxidx2eif{**+x*)l2 = 2-f = 2-f. (5.41)
В общем случае интеграл вычисляется с помощью метода стационарной фазы. Т.к. фаза стационарна для изображений, получаемых из геометрической оптики, V есть сумма членов, соответствующих этим изображениям. Вблизи обыкновенного изображения выберем декартовы координаты т.о., что матрица Якоби диагонализируется, и вблизи начала координат, связанного с этим изображением, имеем ф(х, у) = ф^ + |(<^я2 + ф^2 xI )- Тогда, вычисляя интеграл с использованием метода стационарной фазы, получим вклад изображения в передаточный множитель
V = Hpidet л<°>|-»/*е«/*<0)-»'/*>, (5.42)
где число п зависит от типа изображения, п = 0,1,2 для изображений типов I, II и III соответственно. Это число равно числу фокальных точ-ек между источником и наблюдателем. Это число называется индексом Морса, что является, в свою очередь, частным случаем индекса Масло-ва (Арнольд (19896)). Напомним, что фокальными точками отображения Называются точки, для которых не выполнено условие невырожденности. Суммируя выражение для всех изображений (пронумерованных индексом Oi получим
1/ = ЦІ I det а\0) Г1/2е^ф'0) -"< -/2). (5.43)
' I 133 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
Из полученных соотношений нетрудно получить выражение ДЛЯ KOS(J)1 фициента усиления \цш\ = Sw/S°
f Jd2y\V(u>,y)\'L(y)
—/щ— (5-44)
для протяженного источника и
M = ^|V>,J/)|2 (5.45)
для точечного источника.
Для точечного источника, не находящегося на каустике, можно полу, чить из выражения (5.43) следующее соотношение:
Kl = Yl I det А'0) Г + E VldetAf0V1IdetA^l-1 X
Km
х cos[/(^(0) -ф®)- I(щ - Пт)]. (5.46)
Заметим, что вторая сумма связана с интерференцией волн, соответствующих различным изображениям. Поскольку /(ф\°^ — ф$) = UiAtim -временная задержка ("разность фаз") 1-го изображения относительно т-го изображения, тогда аргумент косинуса может быть записан в виде UiAim -f (т — nm). Усредним выражение (5.46) по узкому частотному диапазону Aui в окрестности значения частоты й/. Выбор частоты может быть связан с рассмотрением излучение в данной частоте или с характеристиками приемника наблюдателя. В случае, если тс и 1/Ди>, которое называется временем когерентности, имеем
Ы-ЕМ^Г, если Aim > Tc, (5.47)
\цш\ ~ E I det А<0) Г1 + E VldetAiwI-1IdetA^I-1 х
( Km
X cos[u>Atim - ^(ni - Пт)], если Atim < Tc- (5.48)
Если два изображения приближаются к критической кривой, то они имеют противоположную четность. Нумеруя изображения подходящим образом, можно считать ni — nm = 1, и тогда cos(HAtim — т/2) = sin(wAtim). Для случая (5.47) фактически вновь можно воспользоваться выражением для коэффициента усиления, определяемого в рамках геометрической оптики через якобиан отображения гравитационной линзы. § I. Предварительные сведения
133
j 3> Усиление вблизи особенности типа складки СлУча** точечного источника
рыбереМ безразмерные координаты на плоскости линзы х и источника у что X = 0 - точка на критической кривой, которая соответствует точке у = 0 на каустической кривой, и матрица Якоби уравнения линзы диагональна- Тогда для передаточного множителя имеем следующее выражение:
