Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
15
U01TVj 2~
Vo
(3.417)
с =
Если неравенство (3.414) не выполняется, то решение уравнения (3.413) качественно отличается от (3.415). Практически, решение при 7 < 5/32 можно получить из (3.415) заменой ? на i? и последующем учетом равенств sin (i?) = ish/?, cos (i?) = ch?. При 7 = 5/32 результат может быть получен предельным переходом ? 0.
Поскольку в модели Вселенной, общепризнаной в настоящее время, неравенство (3.414) выполняется с большим запасом, то мы все выкладки проведем именно для случая 7 > 5/32 . В конце параграфа мы выпишем результаты при 7 < 5/32 и 7 = 5/32 и выявим качественные отличия асимптотик длинноволновых возмущений в этих трех случаях.
Сложим почленно уравнения (3.320) и (3.323):
t2? + 2tfi+ -і~(іл + А) = 0.
(3.419)
Уравнение (3.419) решаем методом последовательных приближений. В нервом приближении по параметру t решение для // имеет вид:
В следующем приближении получаем:
H = Vo-Y2Id-
(3.420)
3 (ST4 + Se2
) }(t2-t\ / Tin
)+
+
3(49 + 4П,ТЩ { И + ("' "ТИ Ш"'«* ("'" Г,
32<о
где
=K
STf + Se2
d 7с-26 L8 + 49+ 4/32 J
1- 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
271
ST44 + Se2
J-
(3.422)
Вычислим макроскопические характеристики бесстолкновительного газа. Для этого с помощью общего решения (3.332) уравнения (3.319) выпишем первые три члена разложения функции Фс(<, х) по параметру t:
Фс(*, х) = Фс(<о, *) [1 - ix{t - to) - у (t - to)2] + 7{ [(А - Ао)(1-
-Зя2) + р - ро] + ix{t - to) [Ао(1 - Зя2) + ро] -t 2 -ix j dt'[X(t')(l -З*2) + //(*')] + у(<-<о)2[Ао(1 -Зі3)+
to ¦
I
+ Po] + х2 J dt'(t' - t) [A(0(1 - З*2) + p{t')] }. (3.423)
to
Подставляя (3.423) в (3.409), получим:
=(*?),+ A(t ~to)+B(t"<o)2" Ье (1 -1)+
+M^[(^)3/2cos (hTsia{?lnh) - (3-424)
где
. (STfna \ 1 j (STf + Se2 \ 1., . 1 . nl. ^ = -M-Jj-J e- J +Q7<o(d+^0)+j8<o(c-26),
N / TJo \ / Tfo
1 / Mffnan"
en"
+ ^o + ^7Ao -
40
1 f ST*+Se2 +47V-f- 272
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
N =
(1657 - 50 - 1672)6 - 10(10 - 77)С/?2
12^(5 + 47)(15 + 27) Подставляя (3.423) в (3.410), получим:
6Т{__ = , ..
Ti. \ f Ті. і v V ^ #
TJo \ у Т)о
где
^-(^MaJfa). (И*
-ад-!{<<-») Iv^ CO8(^lnI)-I]+
( STS1TIaTi' D=I-S-.
Подставляя (3.423) в (3.410), получим:
STZnctTi13 [STZnaTiP
TJo
-^\ljiccos(?inB+h{?ini)^ (з-42б)
Остальные компоненты тензора энергии—импульса бесстолкнови-тельного газа скалярными возмущениями не возбуждаются.
Макроскопические характеристики жидкости Sc2/с и г;ц получаем из уравнений (3.320) и (3.321):
= (^) + Al(t - to) + Bl(t- to)2 - |(1 - t)e (l - I) +
+ M1I20
m
3/2
cos ( /31n — ) - 1
+ JV1*2 (I)372Sin(^lni)1
(3.427)
где
A1 = -ф 1 - 7)«||o 1 - 7)<o + 1(1 - 7)«0(d + no), 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
2 73
1 /mnQn*\ 1 WI ч 4
4 ' Vo
M1 =
5(50(7 - 1)6 + (55 - 717 + 1б72)с]
N1 =
36(5 + 47)(15 + 27) 5[(55 - 717 + 1б72)6 + 50(1 - 7)?2c]
36/9(5 + 47)(15 + 27)
Выражение для продольной составляющей возмущения вектора скорости жидкости уц имеет вид:
, it о fST* + Se2
"и = "и«» + т {—;—
Vo
(И-
SiD
4(1-7)
(:t-to). (3.428)
Формулы (3.415), (3.421), (3.424)—(3.428) решают задачу о поведении длинноволновых скалярных возмущений при наличии бесстолк-новительного газа в изотропной Вселенной в случае 7 > 5/32.
Как было отмечено выше, при 7 < 5/32 и 7 = 5/32 результаты изменяются. Для получения асимптотик при 7 < 5/32 можно в перечисленных выше формулах заменить ? на i?. При 7 = 5/32 результаты получаются из полученных выше предельным переходом ?-+0.
Выпишем результаты для возмущений метрики при 7 < 5/32 и T =5/32.
7 < 5/32 :
(3.429)
^o -
12
d + ?0 +
3 (ST* + Se2
2 V е
(t2 - *о)+
1 fST* + Se2\ 2 t ( tg\
+
+ 7
32*2
3(49-4/?2)(9-4/?2
56
-M)
t
274
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
., - + ,„зо,
Здесь of, 6, с — постоянные, определенные в (3.416) - (3.418), а є получается из (3.422) заменой ? на i?.
7 = 5/32 :
A = + . (3.431)
\ ' Vo
+^О'-йіаг-^-
Здесь d,byc—постоянные, определенные в (3.416)—(3.418), а е получается из (3.422) при ? — 0 .
Таким образом выяснено, что существует критическое отношение 7* = 5/32 плотности энергии бесстолкновительного газа к полной плотности энергии. Если 7 меньше критического, то длинноволновые возмущения ведут себя качественно примерно также, как и в случае 7 = 0, изученном ранее в [55]: скалярные возмущения представляются В виде суммы степенных функций TJi^+3/2 и 77^"1/2, где параметр ? изменяется в зависимости от величины 7 в пределах 0 < ? < 1/2. Отличие от решений Лифшица [55] заключается в изменении показателя степеней у 7].
При 7 > 5/32, когда плотность энергии бесстолкновительных частиц составляет от всей плотности энергии более чем 15, 6% , возмущения приобретают колебательный характер (за исключением возмущений скорости жидкости (см. (3.428)), т. е. качественно отличаются от решений, полученных в [55]. Как указывалось выше, в горячей модели Вселенной 7 > 5/32 при tc < 0, 2 с от начала эволюции Вселенной. Следовательно на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной асимптотики длинноволновых скалярных гравитационных возмущений имеют вид (3.415), (3.421), (3.424)—(3.428), 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
