Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
(см. (2.128)), и макроскопического тензора энергии—импульса т-р электромагнитного излучения в плазме. (Применительно к космологической плазме мы будем говорить в последнем случае о тензоре энергии—импульса реликтового излучения.)
Макроскопические уравнения Эйнштейна отличаются от классических уравнений Эйнштейна присутствием в левой части дополнительных слагаемых Vk^pkj , Pij и — Xr//^ • Эти тензоры выражены в явном виде через одночастичные функции распределения по формулам (2.174), (2.175) и (2.185). Последний из этих членов—это умноженная на постоянную Эйнштейна и перенесенная со знаком минус из правой части уравнений Эйнштейна в левую часть поправка к макроскопическому тензору электромагнитного излучения, обусловленная гравитационными взаимодействиями.
Макроскопические уравнения Максвелла в общей теории относительности также оказались отличными от классических уравнений 166
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Максвелла благодаря появлению в левой части дополнительных слагаемых Vk^pkl + р% • Эти слагаемые обусловлены как эффектами взаимодействия, так и эффектами общей теории относительности. Они также выражаются в явном виде через одночастичные функции распределения по (2.176) и (2.177).
Выражения (2.174)—(2.177) и (2.185) дают нам явный вид дополнительных слагаемых в макроскопических уравнениях Эйнштейна и Максвелла через одночастичные функции распределения каждого из сортов частиц, определенные в восьмимерном фазовом пространстве, в котором все четыре компоненты импульса считаются независимыми. В релятивистской кинетической теории чаще пользуются одно-частичными функциями распределения Fa(q\pa), определенными в семимерном фазовом пространстве, в котором независимыми являются только пространственные компоненты импульса pQ . (Пространственные индексы мы помечаем греческими индексами.)
Связь между функциями распределениями /а и Fa следующая:
nafa(q\Pj) = Fa{q\pa)S{VglmPiPm-rnac). (2.188)
Интегрируя в (2.174)—(2.177) и (2.185) по временным компонентам импульсов р'о и рпо мы выразим все дополнительные члены в полученных уравнениях через семимерные функции распределения:
k ^ ^ x2e6ecmgmgc5 г d3pf Г
2^ 16М2 J Pf0JFdJ
d3pff
be
VFi) J р"°\А~д)
2 9 uiuj +
Hij =
be
+u'k(u'u")(6juff + 8{чЦ (UfUff)Kfa(u\ Uff) x
f d3p' г _ d3p"
J Pl0VFg)' p"
Х2єьєстІт'2сс5
Ібтг2
'VFf) J P"° VFi) 2
[(*2 + ^KX+
+U1iU1jW + (г2 -\)9і:9чг-2г{и'и'' + иУ^ - (z2 - і) (ОД + SjS[) ]х
X (Zda -U0tU )Jrqm(U,U )ГС{Х ->
(2.190) 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
167
x[(«V')(uV - u'V') - (u"'gk} - u"kgif))x • = ? Xeiecrnbmy Г dV f _ <0]x
2Z J p'0VFF)J p"°VFir
n"kJts(n',u")Fc(x")^p-, (2.192)
(gr) _ Хеьест2ьт2сс5 Г d3p' f d3p" p
'і? J p'0VFi) J Vll0VFg) 9,39
+ <*y.>'p + / + u"tu'3)}4$(u\ u")Fc(x") X
x Wn {Fb(x')[ G2~ Osl + ("2 + O u'nu'!"w^)- (2-193)
Здесь
d3p' d?p" p10VFFi и P770V^)
—инвариантные элементы объёма в трехмерном импульсном пространстве частиц сорта бис соответственно. Греческий индекс a в (2.189)—(2.192) пробегает только значения 1,2,3 (пространственный индекс). Производную по p'j в (2.193) следует вычислять так, как будто все четыре компоненты импульса независимы. Зависимость р'0 от р'а учитывается после дифференцирования по p'j .
Тензоры (pij , fiij , ii?r) и /і* обязаны подчиняться дополнительным условиям
glj V, (Vfc^j + IHi - х$г)) = 0, (2.194)
ViHi = 0, (2.195) 168
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
так как дивергенции всех остальных тензоров в макроскопических уравнениях Эйнштейна и Максвелла тождественно равны нулю.
Уравнения (2.194), (2.195) накладывают некоторые ограничения на зависимость от координат и относительной скорости частиц (последняя может быть выражена через z) параметров гр и rg , при-т(е/) Agr)
сутствующих В Jrpq И Jrpq СООТВЄТСТВЄННО.
Макроскопические тензор энергии—импульса частиц плазмы и 4-вектор тока также могут быть выражены через семимерные функции распределения
Тіґ = HcI ^j=^iPjFa(P), (2.196)
Ji = He«cf -TW=Tuip^)- (2197)
a J P V (-9)
Для получения замкнутой системы уравнений к полученной системе следует добавить кинетические уравнения для одночастичных функций распределения каждого из сортов частиц. С учетом ку-лоновских столкновений эти уравнения были получены Беляевым и Будкером [58]. Динамический вывод этих уравнений приведен в [5]. В рамках общей теории относительности данные уравнения получены в [64].
Кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения fb с учетом кулоновских парных столкновений имеет вид [64]:
„idfa dfa ea kdfa _
u "FT + 1J,**"5--1--*ibu — =
Oqt J Opi с dpi
где
ЕІІМ) = 2nele}Lnb[{u,u'f -
X { - 9ij[(u, u')2 - 1] - UiUj - uWj + K uf){uiUfj + UiiUj)). (2.199)
Здесь (u,u') = u[u\(u,u) =. UiU1 ,ит. д. Штрихованные величины относятся к частицам сорта 6, нештрихованные—к частицам сорта а. Величина L это кулоновский логарифм (см. [57]) 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
169
(2.200)
Макроскопические уравнения гравитационного поля для релятивистской плазмы отличаются от классических уравнений Эйнштейна присутствием в левой части дополнительных слагаемых
