Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
k V^ Х2еьестьгпспьпсс3 [ d4p' [ d4p" Гі fk „ „
v« = E——J ^J ^raI59'
+»'*(uVWK + <?«?)] (UV)KyrK, «") K
-М^-АМад. (»74,
« = E / -? / +
be
+UWjW + (Z2-\)9ii9qr - 2г(чЩ+и'!и'Хг ~ (z2 -+ Stf) ] x X (zS?-u';u'm)Jrqm(u',u")fc(x")^p-, (2.175)
OPj
Vik = E
be
xebe2cnbncc f d4p' f dAp" , ,
JvfjJ Tra(uu)A',Ku);
2^r J VFFi J VFg)
x[(u'u")(uHgkf - u'kgif) - (ti'V' " ""V)]
- Jb(x )
^dW-
dp'/ ''
(2.176)
Ехе2ьестспьпсс f d4p' f d4p" , , „
— —:;- I і I / Ц(ц u )д—u,u )]x
4ТГ J Ji-g) J lU " ' »
(2.177)
V(~s) J VFi)
u"kJis(u'y')fc(x")dMx,)
Op1l
Здесь Z = («'«") = UliU11i.
Тензоры h'ij(«', u") и Jijk(u',u") совпадают с аналогичными тензорами, появляющимися в дополнительных слагаемых, обусловленных взаимодействием частиц, в макроскопических уравнениях Эйнштейна для системы гравитационно взаимодействующих частиц. Они определяются через (2.76) и (2.89)—(2.91).2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
163
Параметр fcmin равен в данном случае 1/гр,где гр—радиус Дебая. Он появился при обрезании расходящихся интегралов на больших прицельных расстояниях и учитывает экранирование взаимодействий в плазме при г > гр .
Тензоры Kij (u', и") и Jijk(u'i и") обладают свойствами:
Kij(и', и") = Kij(n", и'); KijUfi = KijUni = 0; Kij = Kji.
(2.178)
Jijk(u',u")u"k = 0. (2.179)
Отметим важные тождества, которым удовлетворяют дополнительные слагаемые в левой части макроскопических уравнений Эйнштейна:
gijrfj = O1 tij= 0, <pkij = <pki, (2.180)
VijMij= 0. (2.181)
Для получения окончательного вида макроскопических уравнений в релятивистской плазме нам необходимо вычислить тензор T-р (см. (2.134)). Для этого подставим выражение (2.157) для микроскопического электромагнитного поля в (2.134). С учетом (1.226)— (1.228) при Tia > 1 имеем:
if = ± (-gugJS + \д%3д^ ? J</у|H'/ A'/^q"х
X Г drf Г drf' [ d3k' f rf3k»e-.k'(q-q')p-.k"(q-q")x
J-OO J-OO У
xa;f)(J7)J7',p',k')a;(c)"(r?,,7",p",k")nbnc5bc(x')x"), (2.182)
В данном выражении мы не можем пренебрегать вкладом гравитационных взаимодействий в двухчастичную корреляционную функцию. Ниже мы увидим, что соответствующий вклад в хТ\р такого же порядка, что и учтенные дополнительные слагаемые в левой части макроскопических уравнений Эйнштейна.
(г)
Поэтому TiJ складывается из двух частей
ТП _ (г) (er) ij ij ij '
(2.183)164
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Здесь выражение для rjp получается из (2.182) подстановкой вместо дъс{х',х") слагаемого ,х") (см. (2.167)), обусловлен-
ного электромагнитными взаимодействиями. Выражение для т-^ получается из (2.182) подстановкой вместо gbc(xfyxff) слагаемого х") (см- (2-165)), обусловленного гравитационными взаимодействиями.
После подстановки соответствующих выражений в (2.182) и проведения вычислений, аналогичных приведенным выше, мы приходим
(г) (дг)
к следующему результату для тУ' и ':
(г) _ у- e2be2cnbnc Г dAp' [ dAp" J J
+(Sjuffj + Sju"i)u,r - grf (UfiUffj + UffiUfJ)]x X (*? (2.184)
(gr) _ xebecmbmcnbncc3 f d4pf f d4pff p q
tj - ir 1б7г3 J VFi) J ТИ)1' ' j" w "
-(SSfj + Syi^p + gP*(uW'j + ^^'(«',t.l/cMx X Wn {fb(X')[ ("2 + ("2 + 0 " 2zU"nU'!}}' (2185)
Формальный
ВИД ТеНЗОрОВ Jrpq(u!, Uff) И Jrpq (uf, u") в (2.184) и (2.185) одинаков. Он совпадает с (2.89), где А и В определяются из (2.90) и (2.91). Только
В Выражении ДЛЯ Jrpqiuf, и") в (2.184) под Armm понимается по прежнему 1/гр , где г о—радиус экранирования электромагнитных взаимодействий в плазме, а в (2.185) в Jrfq (и*, и") под Armin надо понимать выражение l/rg , где гд—радиус корреляции для гравитационных взаимодействий. Этот радиус существует несмотря на отсутствие экранирования гравитационных взаимодействий. В первой части монографии приведены соображения, обосновывающие существование радиуса корреляции для гравитационных взаимодействий и дана оценка гд в случае, когда усредненная метрика gij является метрикой Фридмана.2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
165
Сравнивая Xr// с Hij мы видим, что поправка к тензору энергии—импульса электромагнитного излучения, обусловленная гравитационными взаимодействиями, дает в уравнениях Эйнштейна поправки такого же порядка, что и дополнительные слагаемые появляющиеся в левой части уравнений Эйнштейна.
2.2.3 Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла для релятивистской плазмы
В результате усреднения по ансамблям микроскопических уравнений мы пришли к макроскопическим уравнениям Эйнштейна и Максвелла. Эти уравнения приняли вид:
Gij + V^j + Pij - Xr^ = XTih (2.186)
VkFik + Vkifki + Pi = --Ji. (2.187)
с
Здесь Gij—тензор Эйнштейна риманова пространства с макроскопической метрикой gij, Ftk—тензор Максвелла, Jx—макроскопический четыре-вектор плотности электрического тока, Tij —макроскопический тензор энергии—импульса. Последний представляет собой сумму макроскопических тензоров энергии—импульса T^ среды (см. (2.133)), макроскопического электромагнитного поля T^