Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае на даъ(х,х') имеем линейное уравнение 1-го порядка, в правой части которого стоит сумма двух слагаемых. Одно из них обусловлено гравитационными взаимодействиями, второе— электромагнитными. Очевидно, что решение (2.163) также представляет собой сумму двух слагаемых:
даЬ(х, х') = g[f(x, х') + «'), (2-164)
где д^ь\х,х')—вклад в корреляционную функцию, обусловленный гравитационным взаимодействиям, д^Р (X1Xt)—вклад в корреляционную функцию, обусловленный электромагнитными взаимодействиями.
Уравнение на д^ъ\х,х') совпадает с уравнением на даъ(х,х') из предыдущей главы. Там же приведено и решение этого уравнения (см. (1.234)):
= / лу_ «/•(.»],?,
x!UV,rV,k)expHk(q - q') + j(k»)<i> - г) + j(kv')(r' - ,')]+ 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
157
X «ЙГ V. г, р, к) exp[-ik(q - q') + ^(kv')(i/ - г') + i(kv)(r - V)).
(2.165)
Здесь
V = CVia / U0a,=CVLt ъ/u'l,Ua = (tl1, U21 U3J1U^ = (tt'\t/2V3).
Индекс г означает, что в соответствующее выражение, зависящее от 77, q и р следует подставлять вместо (r;,q) величины (г, q-fv(r — т]). Аналогичный смысл имеет индекс г'.
Уравнение для совпадает с уравнением на даъ{х,х') в
Гл. 1. Там же приведено и решение (см. (1.122)). В обозначениях, принятых в данной главе, результат (1.122) принимает вид:
4-?-?^"1^' - q>n(*(r' - г"))]-
Lu Чт'
S^[exPHMq' - q")sin(k(r' - г"))] JX
X exp[-(kv')(r?' - г') + -(kv")(r" - V")]-с с
еьес [ d3к г" „u"k dfc(х") г" ,
-^-CjirLdr ^fb{x)-wLdTX
X(a4r[exp(-ik(<!" - q')«n(*(r" - г'))]-к u Чт"
-44texP ("W - q')«n(fc(r" - г'))]} X u qT„ )
X exp[-(lev")(f/' - r") + -(kv')(r' - i/)]. (2.166)
C C
Здесь q\ = (r, qQ)—четырехмерный вектор q% у которого временная компонента rj заменяется на г, а пространственные компоненты образуют трехмерный радиус-вектор q.
После выполнения дифференцирования по q\ в (2.166) и введения обозначений kf = (Ar,k), Ar," = (—Ar, к), где
к = ч/[(*п)2 + (fc2)2 + (*з)2] = |к|. 158
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
получаем следующее выражение для корреляционной функции:
9аь [*>*)- k J_xU,oM*) Щ J^ullо X
X exp^kv'H*?' - r') + i(kv")(r" - T7")]-x[(«V)# - u'y"1] (k+eik(T'-T'"> - X
X exp[^(kv")(/?" - r") + J(kv')(r' - J7')]- (2.167)
Очевидно, что в плазме электромагнитные взаимодействия являются доминирующими. Поэтому
Следовательно, в выражения (2.159)—(2.161) и (2.65)—(2.67) достаточно подставить вместо даь(х,х')' После интегрирования по q', q", k', к" получаем:
X exp[?(kv")(»/' - г") + '-(кv')(/ - rj')}+ 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
159
X exp[-(kv")(»7" - т") + -(kv')(r' - rf)]\x
С CJ
X h^b)(V,V',p',-k)^;\r,,r,",p",к), (2.168)
X +hiC-ik^"X
X exp[^(kv")(7j" - т") + l-(kx')(r' - T1')] +
X (k+e- Ifc-e'fc<T"-T')) X X exp[-(kv")(»?" - r") + -(kv')(r' - r,'))\X
C CJ
X 0^(4,1/,!/,-40^('?,'?",?"^), (2.169)
A,j = х(2п)еьестіьпстсс J d4p' f d4p"[-^u'/u'yku"m-
be
--gijU u --UiUjg + ^gijg +UiU dj +UjU д{ -
((u'u")6l-uyl) (k+e-W-'i-
_кГеЩг"-т>^ exp[i(kv»)(?7 _ T") + 1(^)(/ - T7')] + 160 ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
X (*+е-'*<т"-т,) - *|-е<*<т"-т'>) exp[^(kv")(»7-r,,) + ^(kv,)(r'-77')]}-
(2.170)
/h* , ,*m\ - V^ f еьеспьпс(2іг)е\ f-ixmbc2\ ( ec \ f 4
(ft^ >"2Д--ІЛ-){l2^r){4n4)JdpX
V /W Г Иг,' Г ЯП" Zd3k/ Ґ dT' Ґ dT" f ,^9M*')
xJdp LdrtL ¦ J~k~{L^L^fcix
x[(«V')<5? - UiVs] (-Aa-V^"-7') + jk+e-fc(T"-T')) X X exp^kv")^" - r") + J(kv')(r' - T1'))+
X [kte-ik^"-T') - jfc-e'fe<T"-T'>) X xexp[^(kv")(r," - t") + l-(kv')(r' - T7Oljx x(u"Vm _ Isln) - e-'M"'-")) [u,,m^e'fc(''"-'')-
- jfcle-'M""-")) - u"k - *™e-'fc(4"-4)) ], (2.171)
Ih ( еьеспьпс(2тг)6\ (XmbC2 \ ( ec \ f 4 f 4 ,
<h#* > = --іIflc-jdp Jdpx
Г л* F a " M3kJ Г' dT' Ґ dT" f< «A
xLdnLdri Jir{L^L^Mx)-wx
x[(u'u")Sf - «{Vs] (-A.-e''*^"-'') + Jfc+e-ifc<T"-T')) X X exp[-(kv")(J7" - r") + -(kv')(r' - r,'))+
C C 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
161
X - k;eik(T"-T'>) X
X exp[^(kv")(»?" - г") + ^(kv')(r' - »/)]}х
X - jfe+e-<fc("'-")) [u"k (jb'+e'^"-") - ArLe-'^""-")) -
- u"{ - kte-W-"^ ], (2.172)
* і V^ гхеьерщещпс [*,[*„['' , , f d3k
A =E-Ji-jdpjdp j jlj-^x
X ((u'u")St - «Vs) (*+е-л«т"-т') - k-eih(T"-T'l) X X exp[-(kv")fo - r") + ~(kv')(r' - rj')}+
C C
- k;eik(T"~T'A exp[-(kv")(»? - r") + -(kv')(r' - I1')]). (2.173) / C C J
Данные выражения справедливы только в локально-лоренцевой системе отсчета в окрестности точки, в которой вычисляются тензоры Pf13, Qkis, Xij , (WkUJkm), {h.kutk) и Xt . Дальнейшее упрощение и ковариантное обобщение их проводится также, как и в предыдущем параграфе для аналогичных выражений, полученных при выводе макроскопических уравнений Эйнштейна для системы гравитационно взаимодействующих частиц.
Опуская подобные приведенным в предыдущем параграфе рассуждения и вычисления, укажем результат для тензоров <pkj , j , <plk и , которые появляются в левой части модифицированных эффектами ОТО макроскопических уравнений Максвелла и в левой части макроскопических уравнений Эйнштейна: 162
