Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
(2.120)
Здесь —тензор Риччи риманова пространства с метрикой gij , V7u ковариантпая производная в этом пространстве.
Используя (2.108), (2.109) и учитывая слабость гравитационных взаимодействий, разложим микроскопические уравнения Максвелла (2.101) с точностью до членов первого порядка по Iiij :
VkFik + V,. (KnFkm - HkllFim) + іFt7tVfcA + VkUik+
+V, (IiimUkm - HkmUJim) + \ujikVkh =
В (2.120), 2.121) и ниже поднимание и опускание индексов производится с помощью усредненной метрики gij , h = h\.
Разложим уравнения Эйнштейна (2.120) с точностью до членов второго порядка малости по малым hi j и 0? :
Rij + R^ + + • * * = E ^2 /
-\9ijhm)ukau^Na{4,Va) + E VW* J ^=^lm(h)ukaumNa + • ¦ • +
ГУ = Em0C2 у
V( 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
149
(2-122)
Здесь -R1^ —сумма всех членов первого порядка по hij в разло-жении Rij , R\j}—сумма всех членов второго порядка по hij в разложении Rij , и т. д.; b\jlm(h)—сумма всех членов первого порядка по h^ разложения выражения
«J, ygikgjm - ^dijdkmJ ,
7^ —тензор энергии—импульса усредненного электромагнитного поля Fij , —сумма членов первого порядка в разложении
T^ ПО микроскопическим ПОЛЯМ hij И LJij , —сумма чле-
нов второго порядка.
Явный вид этих выражений:
<Х) = VmQ^m - VjQ1^m (2.123)
R^ = VmQjPm - VjQ^m + fi^ng)" - <)mfiL)n> (2124)
где
)m = l-gml (-Vthij + Vihlj + Vjhli), (2.125)
"If = -^hml (-Vihij + Vihlj + Vjhli) = - ІЛ rtlWij, (2.126)
iIjfcm (h^UtUt + h,tgH) {gikgjm - ^9ij9km) +
+ hik9jm jTgikhjm - ^hijdkm ~ ^9ijhkm, (2.127)
= i- (-FuFjmglm + IgijFlmFlm) , (2.128)
(4ЄІ))(1) = h[FilF3mHlm + \h4F,™F'm - \9iiFimFknglkhmn-
- UlilFj1 - UjlFi1 + ^giiFlmUlm], (2.129)
(4ЄІ))<2) = [ - FiiFjman + IgijFikF^gst + ^gijFtmFst- 150
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
-\FktFkmgil9js]huhtm+ Ir Il
+ + Fjtdildsm -QijFimgst + -git9jmFisjulshtm+
+ і (^9it9js + \gij9s^j UJtlUsl. (2.130)
2.2.2 Усреднение микроскопических уравнений
Усредним уравнения (2.121) и (2.122) по совокупности систем и введем одночастинную функцию распределения
gfa(q,p) = ( [ dsS^j - q'b(l)(s))S4(Pj -pf'Hs))) = -(Na). (2.131)
J na
В результате мы придем к макроскопическим уравнениям Эйнштейна в виде
Rij + Л,і = х(т1т) - (1/2)T^9ij)+
+ X (Tffi - ±3<">,<,) + +X (з4г) - ±T<'W) . (2.132)
Здесь
% = EW/ (2.133)
—макроскопический тензор энергии-импульса среды, T^ —тензор энергии—импульса макроскопического электромагнитного поля (см. (2.128)),
7M = + (2-134)
—макроскопический тензор энергии—импульса излучения в плазме,
л,і = (<2)>-Е^с2/(2-135)
При получении (2.132) мы учли, что
(О = 0, <(їГ)(1)> = 0. 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
151
Мы наложили также достаточно слабое ограничение на величину электромагнитного поля внутри радиуса корреляции. А именно, мы считаем, что произведения компонент макроскопического тензора электромагнитного поля на компоненты микроскопического гравитационного поля пренебрежимо малы по сравнению с отличными от нуля компонентами тензора микроскопического электромагнитного поля. Например,
FikIikjCLJij. (2.136)
С помощью (2.124)—(2.127) мы можем представить Aij в виде
Ay = Vfc^i+|1У> (2.137)
где
dj = (??-ад p^ (2.138)
P?s = (ZiJ1Q(1^s), (2.139)
Hij = (SkSsj-S^Ssn) Qnkis ^ Xijl (2.140)
= (2141)
= - E Xmac2 / ^=J{ ~ \щи,икит - ^gijUkUm - ^UiUjakm+
+ \9ij9km + WkS? + UjUkS^ - } < Nahkm > . (2.142)
Макроскопические уравнения Максвелла, получаемые усреднением (2.121) по совокупности систем, принимают вид
VkFik + VkCpik + /І1 = --Ji1 (2.143)
с
где
^k = (h'mu,km) ~(hkm^m), (2.144)
^ = + V, (2.145)
Ai = -2тг?еь J -^=Viw(Nbh), (2.146)
Ji = ? еьспь J ^Luifb (2.147) 152
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
—макроскопический 4-вектор плотности электрического тока.
Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла оказались отличными от классических уравнений. В них появились дополнительные слагаемые, обусловленные взаимодействием частиц. Наша дальнейшая цель вычислить эти дополнительные слагаемые. Для этого нам нужно определить микроскопические поля hij и LJij внутри области корреляции. Учтем, что основной вклад в вычисляемые величины дают далекие столкновения, поэтому мы можем считать микроскопические величины малыми.
Из микроскопических уравнений Максвелла (2.121) и Эйнштейна (2.122) вычтем соответствующие макроскопические уравнения (2.132) и (2.143) соответственно. Пренебрегая членами, квадратичными по hij и UJij и предполагая по-прежнему, что влиянием макроскопического электромагнитного поля на микроскопические поля можно пренебречь внутри области корреляции (неравенство (2.136)), мы приходим к стандартным линеаризированным уравнениям Эйнштейна и Максвелла. Далее мы полагаем, что внутри области корреляции усредненный метрический тензор и функцию распределения можно считать постоянными. В этом случае мы можем понимать под gij внутри области корреляции метрику Минковского.
В результате для определения hij и 0? внутри области корреляции мы получаем стандартные линеаризированные относительно метрики Минковского уравнения Эйнштейна и Максвелла. Если на hij наложить калибровку VkYk = O5 гДе Hj = ^ij ~ (1/2)hgij, то линеаризированные уравнения принимают вид
