Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Также как и в предыдущих параграфах вывод основан на введении случайных функций, с помощью которых в [5] получено кинетическое уравнение Беляева—Будкера [58] для релятивистской плазмы в мире Минковского. В работе [64] тем же методом получено кинетическое уравнение для релятивистской плазмы в пространственно-плоском мире Фридмана.
Для приложения к задачам космологии необходимо знание кинетического уравнения с учетом гравитационных взаимодействий. В 1.4. Уравнение в мире Фридмана
89
рамках ньютоновской теории гравитации для нерелятивистского однородно расширяющегося газа это уравнение получено в [59]. Вид интеграла столкновений для гравитирующих частиц в ньютоновской космологиии оказался совпадающим с видом интеграла столкновений Ландау. Полученный интеграл столкновений не содержит рас-ходимостей при больших прицельных расстояниях. Общее выражение для интеграла столкновений гравитирующих нерелятивистских частиц в ньютоновской космологии получается также и из результатов работы [64] заменой е2 на Gm2 [65], так как в нерелятивистской области кулоновская сила взаимодействия частиц отличается от ньютоновской гравитационной силы именно такой заменой. Дальнейший анализ в [65] полученного кинетического уравнения показал, что интеграл столкновений для гравитирующих частиц совпадает по виду с интегралом столкновений только в том случае, если за время расширения Вселенной произошло очень много столкновений, так что
L=ln<±>l>>h
Здесь t—космологическое время, < V >—средняя тепловая скорость частиц, rmin —расстояние, на котором кинетическая энергия частицы сравнивается с потенциальной энергией взаимодействия. Если число столкновений не очень велико 10 — 100), то полученный интеграл столкновений отличается от интеграла столкновений типа Ландау. В результате максвелловская функция распределения не обращает полученный интеграл в нуль (см. также [61]). Физический смысл этого факта понятен: если за время существования Вселенной произошло не очень большое число столкновений, то за это время и не может успеть установиться состояние локального термодинамического равновесия.
В данном параграфе развит метод, позволяющий получать релятивистское кинетическое уравнение с учетом гравитационных взаимодействий в рамках общей теории относительности. Этот метод применен в частном случае пространственно-плоского мира Фридмана. На поздних стадиях расширения кинетическое уравнение для релятивистских гравитирующих частиц получено в явном виде. В нерелятивистском пределе, при условии L 1, полученное в рамках ОТО кинетическое уравнение совпадает с [59], полученном в рамках теории тяготения Ньютона, т.е. удовлетворяет принципу соответствия. 90
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
1.4.2 Случайная функция и уравнение Лиувилля
Пусть имеется система, состоящая из нескольких сортов частиц. Сорт частиц будем обозначать латинскими буквами а, 6, с,____ Примем также следующие обозначения: па —число частиц сорта а, q* — координаты (q° = 77), pi—ковариантные компоненты импульсов, измеренных в метрике gij , которую будем представлять в виде суммы усредненной метрики gij и вклада Sgij , обусловленного взаимодействием частиц (i>j, Ar,... пробегают значения 0,1, 2,3 , нулевой индекс обозначает временную компоненту).
Введем случайную функцию частиц сорта а [5]:
Na(g,p) = j^ f diptf-qfowtffa-ffw). (1.252) /=і J
где S—канонический параметр вдоль траектории, a q^(s),pjl\s) определяются из уравнений движения (рг = gtJPj)
Вследствие (1.253) функция Na удовлетворяет уравнению:
*ТГ + *>*"жжй <L254)
Здесь Гjtik —символы Кристоффеля первого рода, вычисленные по метрике gij .
Наряду с импульсами рг^ = macdq^/ds мы будем также использовать импульсы рг , измеренные в метрике д^ :
р'(() = «-!(g,p)p'(i), (1.255)
a(q,p) = ds/d~s = (gtJpy)^(glkplpkr^2.
Здесь s—канонический параметр, вычисленный по метрике дij . Перейдем от pi к Pi по правилу
Pj = 9 JkPk = JkdktPi- (1.256) 1.4. Уравнение в мире Фридмана
91
Вычислим якобиан преобразования (1.256), равный определителю матрицы
I^ = agik fa+ukvm) (1.257)
где
Uk = (gijpipj)~l/2pk, Vm=Um- a2gmjuj.
Векторы uk и Vj ортогональны (ti'v,- = 0), вследствие этого определитель матрицы (Skn + ukvm) равен единице. Поэтому
\ I= (1.258)
opj g
Вследствие (1.258) случайная функция Na(q>p) выражается через случайную функцию
Na(q,p) = ? / ds54(q' - gj()(s))<J4(Pj - pf(s)) (1.259)
/ = 1 J
следующим образом:
Na(q,p) = ^Na(q,p). (1.260)
Функции q^j и p^P в (1.259) определяются из уравнений, получающихся из (1.253) заменой (1.256) (рг = g^pj):
Mn = dp\l) = 1
ds mac ds тас
Здесь
Aki = gki - икщ; ?Zj = Г? -
—разность символов Кристоффеля второго рода для метрик gij и gij . Вследствие (1.261) функция Na(q,p) должна удовлетворять следующему уравнению Лиувилля:
Wipi Na) + Wi [(ri'<fc" u?KA™WpkN\
(Tjiik-QJlAmi)Piil/^ (1.261)
= 0
или ввиду тождества
92
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
уравнению
piW + Т-'kpipkd^ = I" (WbmiPiPkNa). (1.262)
