Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 99

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 .. 102 >> Следующая

Задача состоит в нахождении такого к=к*, при котором действительная часть
собственного числа р (к) обратится в нуль. Решение этой задачи на
собственные значения проводится обычно численно с использованием той или
другой конечномерной аппроксимации.
Но можно подойти к задаче и по другому. Можно сразу заменить исходные
уравнения некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(используя метод прямых, метод Галер кина и т. д.). В результате
получится система уравнений вида
х=Х(х, к),
где х - некоторый многомерный вектор. Исследуемое ламинарное течение в
этом случае будет аппроксимировано решением уравнения Х(х, ?i)=0.
Бифуркация может быть найдена из условий
?|-0. X (х, Х)=0.
Дальнейшая схема вычислений также опирается на теорию возмущений.
Так вот, можно показать, что при надлежащем выборе аппроксимирующих схем
оба способа отыскания критических значений числа Рейнольдса эквивалентны.
Другими словами, переход из ламинарного состояния в турбулентное - это
переход системы через точку бифуркации. Поэтому турбулентное течение мы
можем рассматривать как постбифуркационное состояние системы. Остановимся
на этом несколько подробнее.
Рассмотрим снова некоторое устойчивое стационарное состояние \(к) и
поставим эксперимент при некотором фиксированном значении
ПОСЛЕСЛОВИЕ
295
параметра Х=Х*. Благодаря стохастичности реального процесса, каждому
опыту будет отвечать своя точка х (X*). Значит, в гиперплоскости %=) * в
пространстве (х, X) результаты измерений нам дадут некоторое множество.
Меняя параметр X и отмечая каждый раз результаты измерений, мы получим
некоторую узкую размытую трубку.
Предположим теперь, что в точке х=х* происходит ветвление, причем
возникает много близких решений, не разделенных между собой большими
потенциальными барьерами. Тогда под действием случайных возмущений
состояние системы все время будет переходить из одной области притяжения
в другую. В результате наблюдается целая область, занятая траекторией
системы. Этот качественно новый тип движения естественно назвать
турбулентным. Те численные эксперименты, которые я проводил в начале
шестидесятых годов (см. Н. Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент.-
М.: Наука, 1978 г.) показывают, что в гидродинамике ситуация очень
походит на только что описанную.
Сказанного, наверное, достаточно, чтобы объяснить тот огромный интерес к
изучению особенностей отображений, который сейчас возник во всем мире не
только у математиков, но и у широкого круга специалистов, занимающихся
содержательным анализом конкретных явлений - механиков, физиков,
биологов.
Приведенные примеры имеют своей целью показать читателю значение анализа
не только точек бифуркации, но и необходимость создания эффективных
методов постбифуркационного анализа. Важнейшим инструментом исследования
зависимости структурных решений от параметра являются методы продолжения
по параметру, которые опираются на численные методы решения задачи Коши.
Однако эти методы перестают действовать в окрестностях точки бифуркации,
поскольку в этой точке происходит нарушение единственности. Значит,
постбифуркационный анализ нужно начинать с создания численного метода,
позволяющего найти все действительные решения, выходящие из точки
бифуркации. Но именно здесь нас подстерегает главная трудность.
Более трехсот лет тому назад Ньютон разработал метод, получивший
впоследствии название "диаграммы Ньютона", который позволяет найти все
решения уравнения
X (х, Х)=0
при условии, что Х(0, 0)=0, а сама функция - аналитическая функция своих
переменных. Метод диаграммы Ньютона и в настоящее время является
единственным способом, позволяющим построить эффективные численные методы
определения всех решений этой задачи. Численные реализации метода Ньютона
хорошо отработаны лишь для скалярного случая, когда переменные х и к -
скаляры. Случай, когда размерность переменной х велика, приводит уже к
огромным вычислительным трудностям. Если же и размерность переменной X
больше 1,
296
ПОСЛЕСЛОВИЕ
то способы численной реализации идей Ньютона не известны. Таким образом,
разработка численных методов постбифуркационного анализа - это сейчас
одна из важнейших задач вычислительной математики, от решения которой
будет зависеть судьба многочисленных прикладных исследований.
Предлагая советскому читателю книгу Ж. Йосса и Д. Джозефа, я хотел бы еще
раз повторить мысль, высказанную вначале: эта книга служит превосходным
введением в теорию, являющуюся ключом к пониманию сложнейших явлений
современного естествознания.
Н. Н. Моисеев
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..............................................................
........ 5
Список обозначений • . . 8
Глава I. Равновесные решения эволюционных
задач.............................. 9
§ 1.1. Одномерная, двумерная, л-мерная и бесконечномерная
интерпретации уравнения (1.1) 9
§ 1.2. Нетривиальные решения; стационарные и Т-периодические.решения;
автономные и неавтономные задачи......................... 11
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed