Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
R(of(/?R), определяемый линейной эволюционной задачей
-§- = сок Д Z = SaZ, Z?R3, (XI. 145)
где со-вещественная постоянная, а к-единичный вектор оси г.
Общее решение уравнения (XI. 145) есть
Z (/) = ev Z (0) = RatZ (0) б р2я/ш.
Возвращаясь теперь к уравнению (XI. 144), положим
x(/) = evy(/) = R(0<y(/),
где
= f (р, у)-So>y. (XI.146)
290
ГЛАВА XI
Стационарные решения уравнения (XI. 146) соответствуют периодическим
решениям \(t) - Ьа1у б Ргя/m уравнения (XI. 144). Периодические решения
уравнения (XI. 146) соответствуют дважды периодическим решениям уравнения
(XI. 144), которые на самом деле квазипериодические для большей части
значений ш.
Упражнение
XI.1. Рассмотрите пример VII.1 на стр. 141 и покажите, что уравнение
(VII.47) инвариантно по отношению к вращениям RQ (х, у)-плоскости.
Вычислите бифуркацию Хопфа, следуя методу, который был использован для
этого примера.
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Итак, советский читатель получил умную и полезную книгу. Имена ее авторов
хорошо известны специалистам, занимающимся теорией гидродинамической
устойчивости. Работы Ж. Йосса и Д. Джозефа регулярно публикуются, начиная
с середины шестидесятых годов. Особую популярность у советских читателей
приобрела монография Д. Джозефа "Устойчивость движений жидкости",
изданная в 1981 году на русском языке издательством "Мир".
Исследования Джозефа и Йосса привлекательны тем, что в них сочетаются
тонкие общетеоретические построения, имеющие самостоятельный
математический интерес, с вопросами прикладного характера. Функциональный
анализ, топологию и другие области математики они используют ровно
настолько, насколько это необходимо для того, чтобы выяснить особенности
физических процессов, которые их интересуют.
Новая книга Ж- Йосса и Д. Джозефа, которую они назвали элементарной,
посвящена математической теории бифуркаций и предназначена прежде всего
для учебных целей. Она является действительно прекрасным введением в
изучение того инструментария, который сейчас бурно развивается в связи с
особым прикладным значением, приобретаемым теорией особенностей
дифференцируемых отображений.
Рождение теории бифуркаций следует отнести ко второй половине XVIII века,
когда Эйлером была решена его знаменитая задача об устойчивости колонны,
подверженной действию вертикальной нагрузки, которая приложена к ее
верхнему торцу. В XIX ве*е было понято, что изучение ветвлений возможных
форм стационарных (или периодических) решений при изменении параметров,
характеризующих внешние воздействия, является ключом к пониманию ряда
важнейших физических явлений. Возникновение волн на поверхности воды,
ячеистой структуры конвекции, крупномасштабных вихрей в атмосфере и
многих других природных явлений имеет одну и ту же причину, а именно
смену характера устойчивости установившихся режимов при переходе
некоторых параметров через их критические (бифуркационные) значения.
Пониманию подобных фактов и их роли в естествознании мы обязаны прежде
всего А. Пуанкаре. Его исследования по теории ветвлений привели к
оформлению теории особенностей в самостоятельную дисциплину. Работы
Ляпунова и Шмидта, с именами которых связан известный метод Ляпунова -
Шмидта, существенно раскрыли
292
ПОСЛЕСЛОВИЕ
возможности эффективного анализа широкого класса операторных уравнений. В
последние два десятилетия исследования особенностей и характера ветвлений
решений операторных уравнений резко интенсифицировались. Тому было много
причин.
Во-первых, определенные импульсы появились в самой математике- их породил
английский геометр X. Уитни. Изучая некоторые относительно простые классы
отображений, он установил, что число возможных типов особенностей
невелико. Этот факт привлек внимание математиков. Несмотря на то, что
многие надежды, которые были связаны с идеями Уитни, оказались
иллюзорными, возникла и продолжает бурно развиваться обширная
математическая дисциплина. В ней появились не только своеобразные методы,
но и язык, доступный сегодня лишь относительно узкому кругу математиков.
Справедливости ради следует сказать, что эти исследования пока еще
существенно не повлияли на тот инструментарий, который исполь-зуюг
специалисты, занятые изучением содержательных свойств тех или иных
моделей. Это происходит не от консерватизма физиков или математиков.
Точно также мне не хотелось бы винить развивающуюся теорию и ее пока
малодоступный язык. Причины здесь состоят в том, что "интенсивность
эффектов" часто оказывается сравнимой с "степенью адекватности" модели.
Поясним это утверждение одним примером.
Предположим, что мы изучаем резонансные явления в гамильтоновых системах.
Пользуясь теорией этих систем, мы обычно довольно легко находим главный
резонанс, его первые гармоники. И наблюдаемое в природе соответствует
тому, что мы получили на основании теоретического анализа. Но более
тонкие эффекты, связанные с резонансами высших порядков, с помощью
эксперимента мы часто не можем обнаружить. Явление оказывается смазанным
