Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
однако функции Тк представляются конечными рядами Фурье1) (доказательство
то же самое, что и для Gt), и все более высокие гармоники содержатся в
членах 0(еЛГ+1).
Нетрудно также показать, что
I -1 N
ю [н (")] + 2 ьктк (т.^ (е2) т) =со0-1+ 2 (т, й (е2) т)+0 (еА+1),
к >. 1 J к > 1
(XI. 140)
где функции Sk 2л-периодичны по обеим переменным, а
def
й (е2) = - -f- е2Й (е2).
<в0
Когда т = 0(1), то вековые члены в х2 ограничены, |ха | = 0(еДГ+1) и
тогда интегрирование уравнения (XI. 139) дает
N г
(r)о-1т+ 2 8*\Sft(s> й(е2)s)ds-f-Хз(т> ") = ( - (", (XI.141)
k>i
где | Хз [ = О (eN+1 (I + т + т2)). Чтобы вычислить интегралы, представим
подынтегральные выражения в виде разложений
Sk(s, Q(e2)s) = 2 -Vi, exp (i' (/, + Ql9)s),
ht h
и если для всех 1г, /2 в приведенных суммах, то
X
Js*(s, Qs)ds= [exp (i(/, +Q/a)т)-1]. (XI. 142)
о Л. 'i 2
Если для некоторых /, и /2: = то формула (XI. 142) не-
верна, и для вычисления интегралов в (XI. 141) нужно использовать другой
путь. Так как суммирование по /2 в (XI. 142) конечное, то можно вычислять
интегралы как в (XI.142), если только 7j + ^а Ф0. При неограниченном
суммировании можно было бы ожидать появление малых знаменателей и
расходимости рядов, даже если ?1(е2) является иррациональным числом.
288
ГЛАВА XI
Уравнения (XI. 141) и (XI. 142) показывают, что усеченные решения,
подавляющие члены более высокого порядка (которые могут быть вековыми)
имеют вид
V " V (at, со&), (XI. 143)
где функция V является 2я-периодической по обоим аргументам. Чтобы
определить со, сделаем замену переменных для преобразования правой части
уравнения (XI.139) в функцию, которая явлйется постоянной с точностью до
членов порядка zN+1. Конечно, (й=ю0+О (е), а
Q = е*й(в*).
ч>0
Число вращения отображения Пуанкаре (см. § Х.15) здесь дается формулой
P(fl=-g- + e2Q(8*) + 0(8").
Для приближенных решений (XI. 143) число р определяется отношением
частот. Заключения § Х.15 здесь неприменимы, потому что предположения об
иррациональности числа р не достаточно для того, чтобы гарантировать
квазипериодичность решений на торе. Мы получим квазипериодические
решения, если р не очень хорошо аппроксимируется рациональными числами. К
счастью, "большая часть" чисел ("большая часть" определяется в смысле
меры Лебега) обладает требуемым свойством, и для них справедливы
заключения гл. X.
§ XI.19. Строго квазипериодические решения на бифуркационном торе*)
Проблема бифуркации упрощается для большого числа физических задач,
описываемых уравнениями вида (VIII. 1) и обладающих свойством
инвариантности по отношению к некоторым группам преобразований. Такие
упрощения возможны в задачах описываемых дифференциальными уравнениями с
частными производными, в которых инвариантность по отношению к группе
преобразований, включающих пространство и время, приводит к бифуркации
Хопфа в волноподобные решения. Чтобы изучить ответвление волноподобного
решения, удобно и возможно свести задачу строго, а не только
асимптотически, к автономной задаче. Тогда стационарным решениям
автономной задачи соответствуют периодические решения исходной задачи.
Однако если в автономной задаче, описывающей ответвление волноподобного
х) Поводом для написания этого параграфа послужили недавние результаты по
бифуркации вращающихся волн (см. Rand, David. Dynamics and symmetry,
predictions for modulated waves in rotating fluids, Arch. Rational Mech.
Anal, Michael Renardy, Bifurcation of Rotating Waves, Arch. Rational
Mech. Anal.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 289
решения, снова имеет место бифуркация Хопфа, то бифуркационные решения
будут строго дважды периодическими, причем обе частоты и число вращения
будут выражаться аналитическими функциями относительно г. Пусть,
например, имеется дифференциальное уравнение с' частными производными для
бифуркационного скалярного поля v(r, 0, z, /), которое в цилиндрических
координатах (г, в, г) инвариантно по отношению к вращениям вокруг оси г.
Предположим далее, что решение ц = 0 обладает бифуркацией Хопфа во
вращающуюся волну v=v (г, 0-со/, г). Задача, описывающая бифуркацию
решения о (г, ср, г), ср = 0-со/, является автономной, и если для нее
имеет место другая бифуркация Хопфа, то новое решение описывается
функцией вида и (г, ср, z, /), являющейся Г-периодической по /.
Бифуркационное решение и (г, ср, z, t) = u(r, 0-со/, г, /) будет
находиться на двумерном торе дважды периодических потоков, две частоты
(2л/Т, со) и число вращения которых аналитичны по е.
Инвариантность систем дифференциальных уравнений в R" по отношению к
группам вращений фазового пространства также приводит к большим
упрощениям.
Пример. Рассмотрим эволюцию трехмерного вектора х = (х, у, г), x?R\ где
d\
-dT=f(P> х)> (XI.144)
а функция f (pi, R0x) - R0f(p, x) инвариантна по отношению к поворотам
пространства на угол 0 вокруг оси г,
~cos0 -sin0 О"
[Re] = sin0 cos0 О
[О 0 1
Чтобы упростить исследование бифуркации, введем генератор группы
