Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 95

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 102 >> Следующая

р). В случае сильного резонанса, изученном в предыдущих параграфах, х =
s, V = 'F, a Z = -Y.
Мы хотим привести эту задачу к виду (Х.8), (Х.9), позволяющему
исследовать ее методом усреднения, который применялся в § Х.2. Уравнение
(XI.2) принимает вид1)
rill dZ dx ' dx
= F (pi, U(x, p)+Z)=F [p, U(t, p)] +
+ FK(p, U (t, p)|Z) + N(p, t, Z), (XI.119) где || N (p, t, Z) I = О (I Z
I2), и так как F [p, С) (т, p)] = co (p) dU (x, p)/dx,
то получаем
(X-g))^- + t^-=F"(P, 0|Z) + N(p, x, Z), (XI.120)
поэтому
(*-^lF + lr) = y(P)z + N(P, t, Z). (XI.121) Теперь, дифференцируя (XI.
118) по x, находим, что
(||, Г0* (х, р)) = - <Z, Г0*(х, р)>. (XI. 122)
Проектируя (XI. 121) на Г" (х, р) и используя (XI. 122), находим, что (х-
со) [1 -<Z, Г0*(т, р)>] = <N (р, X, Z), Г0* (X, р)>. (XI. 123)
Поэтому
Х = ш(р)+ <N(^T:^;(T¦ ц)> ¦ (XI.124)
1 -<Z, Го (х, р)>
Теперь, разрешая уравнение (XI. 121) относительно dZ/dx и используя (XI.
124), получаем уравнение
(р) 4-<N (ft| т' Z).\To (T,.tl)> ^ YF (p, 0(x, p) I Z) + d% \ l-<2,
r**(x, p)> J \ rn
N(p, X( Z)-<N(^-'Z)-,r°(T'^^iT' (XI.125)
-rv"*..; 1 -<Z, Го (x, p)> * '
которое имеет вид уравнения (Х.1) и которое нужно рассматривать вместе с
вспомогательным уравнением (XI. 118). Здесь линеаризован-
.del ^
>) Далее x=dx/dt, тогда как II = dU/dx, 2 = dZ/dx.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 285
ныи оператор есть
d¦+ (СО ( Lt)) ^ P.. (U. и (Т. Ц)|-)= ..
(О ((А)
Роль вспомогательного условия (XI. 118) состоит в том, чтобы устранить
нулевое собственное значение (и соответствующие собственные значения,
лежащие на мнимой оси) оператора J (р).
Теперь, как и в гл. X, представим Z в виде разложения
г = гГ(т, р) + 7Г(т, p) + W, (XI.127)
где
<W, Г* (т, p)> = <W, Г0*(т, р)> = 0, (XI. 128)
г = <Z, Г* (т, р)>. (XI. 129)
Уравнение (XI. 125) приводит к системе
^- = JM-z + b(T, р, г, 7, W), (XI.130)
ат со (р)
^ = U (т, p)|W) + B(r, р, г, 7, W), (XI.131)
ат со (р)
где
|6(т, р, z, 7, W) | + || В (т, р, z, 7, W)! = О [(| z | + (I W I)2]-
(XI.132)
В силу предположения, числа у (р)/со (р) |Р,= о = 1т|о/ши не
удовлетворяют условиям сильного резонанса, и все экспоненты Флоке для W-
части решения лежат в левой части комплексной плоскости. Поэтому,
используя результаты гл. X, имеем решения уравнений (XI.130, 131),
лежащие на бифуркационном инвариантном торе, в следующей форме:
г (т) = р (т) ехр jt ^ т + 0 (т) | +
N
+ И Vp?(t. 9)[рМ?+,7ехр{(р-q)i Г^-т+0(т)1} -fO(e^+1),
р+"=2 I L 0
(XI.133)
N
W(t) = X. Грр(т, р)[р(т)]^+" ехр |(p-?)i f-J-T+0(T)] 1+0(8^+"),
(XI. 134)
где, как и в гл. X, число усечения N неограничено, а функции р(т), 0(т),
р отнесены к параметру е:
р = р2е2 + р4е4 + ... +0 (е^4-1), (XI. 135)
р(т) = е + 8п-3р"_3(0) + еп-2р"_!!(0)+ ... 4-0(8ЛГ+1), 0(т)-1-8п-
^"_4[0(т)] + еп-3/1п_з[0(т)]+ ... ==82Q(e2)T-f х(т, г).
286
ГЛАВА XI
В (XI. 135) число п определяется уравнением ехр (2я/пт]0/со#) = 1, a pi и
ftj суть 2л/га-периодические функции с равными нулю средними значениями,
которые, как и в § Х.9,10, можно определить в форме полиномов от е±ш.
Функция % содержит вековые члены по т, а
равномерно по т.
Уравнениями (XI. 117), (XI. 127), (XI. 133-135) определяются траектории,
отнесенные к переменной т, с начальным условием для 0, даваемым значением
х(0. е). Однако для того, чтобы получить закон движения по этим
траекториям, необходимо знать зависимость т (t).
§ XI .18. Асимптотически квазипериодические
Теперь, подставляя в (XI. 124) выражение (XI.127) для Z(r), получим
уравнение для определения т (t), которое описывает поведение решения на
траекториях, лежащих на инвариантном торе. Выполняя выкладки, аналогичные
приведенным в § Х.11, можно записать уравнение (Х.135)3 в форме
где функции Ht удовлетворяют условиям Ht (--|-2я, .)=#,(., --}-2л;)= =
#*(•, •). Поэтому, обращая уравнение (XI. 136), имеем
-^т-И(т)=[-^ + е2Й(е')]т +
+ еп-Ч?п_4(т, [-&. + вЧ2(8*)]т+Хг.)+...+Х.(*. "), (XI.137)
где Gt суть 2л-периодические по обоим аргументам функции, ах,0= =Xi(0.
в), | (3я/, (т, е)/дт| = 0 (е^). Нам необходимо рассмотреть лишь случай,
когда функции Gt представляются в виде конечных рядов Фурье по второму
аргументу. Более высокие гармоники появляются от членов более высокого
порядка по 8, а усечение рядов производится на членах, имеющих порядок
е^-1.
Аналогично, используя методы § Х.9, находим, что
p{x) = e + 8"-3tfn_8(Xi JkT + 0(x)) + ...+O(8"+1), (XI.138)
решения на инвариантном торе
>-, + 0(т) + в-А, + 0(т)) + ...
(XI.136)
где функции R, являются 2л-периодическими по обоим аргументам. Теперь
заменим в (XI. 133), (XI. 134) р (т) и (т]0/со0) х-J-0 (т) их выра-
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 287
жениями (XI.138), (XI. 137). Тогда уравнение (XI. 124) можно представить
в форме
N
-§-=<" [ц. (е)]+Х е*Г* (т, [-^¦+82Q(82)]t+Xio)+0(8a,+ 1)+x2(t, в),
(XI. 139)
где Тк суть 2я-периодические по обоим аргументам функции, а |<?Ха (т>
z)l&i\ = 0 {гы+1). Вообще говоря, функция Ха содержит вековые члены,
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed