Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
v<i>C0 = С,|х'1> (?, -зЧ )-С.Ке-^, v(1,Cj = CiPtl) (у, + -f-fflx ) -
С0уле^.
Поэтому Vi1' и у'1' являются собственными значениями матрицы
где определяется из уравнения (Х1.79)2,
2рш (у, <"! ) = Ке~ 3,(р" ,
е тем же (заданным там) значением V Анализ устойчивости в точности
совпадает с анализом в нетривиальном случае, изученном
до
m =
(т.-
im ~
Tw'
- V1(p"
282
ГЛАВА XI
в § IX. 14 (см. (IX.74)):
vf > -f- v<>> = tr m = > 0,
так как
,(i).
(1/2) 1К
ix>o,
tm -
Yi 5"(r)l
<0
и одно из собственных значений матрицы m положительно, а другое
отрицательно. Отсюда следует, что одно из двух собственных значений
МеЛ К1']
v2(e)J * [vH
+ 0(a2)
положительно с каждой стороны от критической точки. Поэтому бл-
периодическое (по s) бифуркационное решение неустойчиво одновременно для
положительных и отрицательных значений а, если | а| мало.
Оставляем доказательство других результатов, относящихся к анализу
устойчивости и сформулированных в § XI. 14, в качестве необходимого
упражнения, которое будет служить проверкой правильности понимания
излагаемой теории прилежными студентами.
§ XI.16. Обзор результатов о субгармонической бифуркации в автономном
случае
Пусть выполняется одно из предположений о спектре ((I) или (II)) § XI.3 с
т]а/ы0 = т/п вместе с условиями строгого пересечения §§ XI.5-7.
1. Если и=1, то по обе стороны от критической точки ответвляется
единственное однопараметрическое (е) семейство (2л/й(е))-периодических
решений уравнения (XI.2). Если п = 2, то с одной стороны от критической
точки ответвляется единственное однопараметрическое (е) семейство (4я/й
(е))-периодических решений уравнения (XI.2). Суперкритические (р(е)>0)
бифуркационные решения устойчивы; субкритические бифуркационные решения
неустойчивы.
2. Если п - 3, то ответвляется единственное однопараметрическое семейство
(6я/?2(е))-периодических решений уравнения (XI.2) и они неустойчивы по
обе стороны от критической точки.
3. Если п = 4, | Х31 > | -(1/4) t'mco! || Im(V(Yi_ (1/4) im^)) |, X, и k3
определяются по формулам, указанным после (XI.87), т= 1 или 3, -
(1/4)/ти, удовлетворяют уравнению (XI. 19), то ответвляются два семейства
однопараметрических (е) (8л/?2(е))-периодиче-ских решений уравнения
(XI.2). Если |А*|<|^*|, то одно из двух
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 283
бифуркационных решений ответвляется с субкритической стороны (р < 0), а
другое-с суперкритической стороны (р > 0), и оба решения неустойчивы.
Если |Я2|>|?ц,|, то два решения ответвляются с одной и той же стороны от
критической точки и по крайней мере одно из них неустойчиво. Устойчивость
решения зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи.
4. Если п ^5, Im(Lj/(Yj-(1т1п)(лх))Ф 0Д2 определяется по формуле,
приведенной после (XI.87), или, если п = 4 и неравенства пункта 3 не
выполняются, то, вообще говоря, вблизи критической точки не существует
малых по амплитуде (2лга/?2 (е))-периодических решений уравнения (XI.2).
Во всех случаях функция Q(e) такова, что Q(0) = coo, и поэтому
бифуркационные решения имеют периоды, близкие к кратным значениям
величины 2л/со(р).
§ XI.17. Бифуркация тора в автономных нерезонансных случаях
Рассмотрим автономное уравнение (XI.2) и далее предположим, что V = I)
(co(p) t, р) есть (2л/со (р))-периодическое решение уравнения (XI.2). В
первых параграфах этой главы были найдены субгармонические решения
уравнения (XI.2), ответвляющиеся от решения U. Теперь нас интересуют
решения, которые ответвятся, когда условие сильного резонанса г|0/о\ =
т!п, п = 1, 2, 3, 4, не выполняется, в то время как другие предположения
о спектре оператора J (р) остаются теми же, что и в § 1 Х.З. В этом
случае, как и в нетривиальном периодическом случае, изученном в гл. X, мы
получаем некоторый тор асимптотически квазипериодических решений.
Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения U (т, р),
описывается уравнением (XI.5), а сопряженная спектральная задача-
уравнением (XI.6). При р - р0 мы имеем на мнимой оси простые собственные
значения + гщ + km0 и 0 + fe'i(o0 с любыми k, k' из Z. Тогда для значений
р, близких к р0, имеем пару простых собственных значений у(р), у(р)
оператора J (р). Кроме того, нуль по-прежнему является простым
собственным значением оператора У (р),
k def
которое соответствует собственной функции U (т, р) = Г0(т, р). Пусть Г(т,
р) - это собственная функция задачи (XI.5), соответствующая собственному
значению у (р). Сопряженными собственными функциями задачи (XI.6)
являются Г*(т, р), Г*(т, р) и Г0* (т, р). На основе вычислений, подобных
указанным в упражнении Х.1, находим следующие условия биортогональности
для всех т:
<Г(т, р), Г*(т, р)> = <ГЛт, р), Г0* (т, р)> = 1, (XI.115)
<Г(т, р), Г0*(т, р)> = <Г (т, р), Г0* (т, р)> =
= <Г(т, р), Г* (т, р)> =0. (XI. 116)
284
ГЛАВА XI
Теперь подставим V в виде разложения
V = U(x, p) + Z, (XI.117)
где
<Z, Г0*(т, р)> = 0; (XI.118)
при этом Z и т представляют собой подлежащие определению функции от (t,
