Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
(X1.91 )t
Необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (XI.91) имеют
вид
[У<Д'2>, Г0*0]2Я=[УД<*>, гу1я = 0. (XI.91),
Второе из этих условий приводит к уравнению
2(хШу")_[Рот,(р0, и0|Г01|Г01), Гу.д-0, (XI.92)
где в соответствии с (XI.27)
тРКУГи-йд'.,, г;1]1">о. (XI.93)
Поэтому уравнение (XI.92) дает рш. С другой стороны, первое условие
разрешимости приводит к уравнению
ffl">-fi'"=-[Fw,0io, и0|Г01|Г01), Г"*0]2Я +
2р<1) [^Г01-со,Г0], Г00]2Я.
Чтобы вычислить й(2), нам потребуется значение
С0<а> = р'2'(r)! (р(1))2 И,.
Оставляем читателю в качестве упражнения детализацию алгоритма вычисления
р<2) из уравнения для Y(S>.
276
ГЛАВА XI
§ XI.14. "Субгармоническая" бифуркация для п- 1 в случае, когда нуль
является двойным собственным значением оператора /0 с индексом два
Обратимся теперь к случаю (б) из § XI.4. Нуль является двойным с индексом
два собственным значением оператора /" с правильным и обобщенным
собственными векторами и сопряженными собственными векторами,
удовлетворяющими уравнениям и условиям (XI.28-30). Снова будем искать 2я-
периодическое бифуркационное решение ф (s, а) и Q(a) в виде рядов
(XI.49). Амплитуда а определяется скалярным произведением
a = [Y(s, а), г;]," (XI.95)
Уравнение (XI.88) для определения членов первого порядка имеет место и
для рассматриваемого здесь случая, однако теперь
(с0(1)-Q(1)) = [/0Y(1), Г;.]1я=рт, /0*Г0*0]2Я =
= [Yll), г;1],я= 1. (XI.96)j
Поскольку из (XI.51)и следует, что [Y(1), г;о]2я = 0, то получаем
Q(1) = Pa4-1 (Х1.96)2
Y(1) = Г01 = и(1) - ф(1) = p(1)U,-фш. (XI.97)
Здесь построим уравнение для определения Y(2), вычитая (Х1.53)2 из
(Х1.52)2 и используя (XI.96, 97) и (XI.63):
(со(2)-й(2)) Г00 + 2фх = J0Y(2) + 2ц<п
-FOTGie, Uo IГ011 Г01). (XI.98)
Это уравнение разрешимо, если выполняется условие [/0У<2\ Го1]2л = = 0.
Используя (XI.97) и (XI.42), находим, что
2n">[0lf T'ai]in-2[T01, Г0*1]2я=2ц(1>(у1 + [01, г;,](tm))-[РргДМчи
и0|Г01|Г01), Г01]2я.
Поэтому
2na)Yi = [FOT(H., и0|Г01|Г01), Г;]1я-2[Гв1, Г0*?]2Я. (XI.99)
Так как по предположению yi > 0, то уравнение (XI.99) разрешимо
относительно рш.
Чтобы вычислить значение со(2)-Q(2), спроектируем уравнение (XI.98) на
Г"0. Используя (XI.95), находим, что
\JoY<1!), Г^0]2Я = [Y(2), Л*Г0*0]2я=[У(2>, 1^ = 0,
CD',>-fi'" + 2n">[01, Г0*0]2я_2[Г01, Г0*0]2я =
= 2ц<1>[{^Г01-й1Т01), Г0'0]2Я-' и.|Г01|Гв1), Г00]2Я. (XI.100)
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
277
Из уравнения (XI. 100) нельзя определить Qt2), если не известно значение
co(2, = p(2)co1 + (P<u)2to2. Поэтому нам необходимо найти р(2).
Чтобы найти р(а), сначала построим уравнение для определения Y<3>,
вычитая (Х1.53)3 из (Х1.52)3 и используя (XI.97):
(Ш0) _Q(3)) Гоо + 3 ((й<2, _ Q<2>) JJCl) + 3Q(2>roi + 3 ((о<1) _Q(D) уи>
_j_
+ 3Q<1)Y'2' = J 0Y(3) + (р0, U0|roi) + 3FOT(^o, U"|r01|U(2') +
+ 3FOT(lx", U,|U'"| Y'*")-3FwGv U0|r01|Y(2') +
+ 3Fvvv(\i0, U01 U(1) | UU) | Г01)-SF^tp,,, и0|и">|Г01|Г01) +
+ FOTJp", U.|r#1|r01|rel) + 3n">Foli(n0> U0|Y<2') +
+ 3r)'Fw([i" U"|rol) + 6n'"FWI1(Ho, U"|rol|U">)-
-3pU)FTOy, (p0, и0|Г01|Г01). (XI. 101)
Неизвестными в этом уравнении являются Q(3), Y(3) и р(2). Чтобы
определить коэффициент при р(2), отметим, что
и(1"-?*•'= 1, ц<*"" Н- (|х(1))* 0It
+ ч. б. н. п.) -
- 3 ((c)"> - Q(1)) 1>а> - ЗЙ(2,Г01 + Зц^щ (ц" U01Г01) +
+ 3FWOv U01Г011 U(2)) = 3p12' {?Гп-Oi-^Г,,} + (и. 4. б. н. п.).
(XI. 102)
Поэтому уравнение (XI. 101) можно записать в виде
(со'3>-Й<3>)Г00 = УЛ'3' + 3^2>{^Г01-й1-"1Г01} + (и. ч. б. н. п.).
(XI. 103)
Уравнение (XI. 103) разрешимо, если [/0Y(3), ГоХ]2я = 0. Поэтому,
используя (XI.42), находим, что
3p<2)Yi + [(H- ч- б- н- п- м-)> r0*i]2n=0.
С другой стороны, из (XI.95) следует, что
[/0Y<3\ r0'0]2Jl = [Y<3>, Г0\]2я = 0,
так что
со'31-й(3) = Зр(,) [{у-То1-?]j -(Bxr01}, Г*"]2я + [(и. ч. б. н. п.),
Г*0]2Я.
Вычисление членов более высокого порядка малости проводится аналогичным
способом.
278
ГЛАВА XI
§ XI. 15. Устойчивость субгармонических решений
Свойства устойчивости субгармонических решений в рассматриваемом здесь
автономном случае те же самые, что и в случае нетривиальных Т-
периодических задач. Когда п= 1 и л = 2, субгармонические бифуркационные
решения неустойчивы, а суперкритические решения устойчивы, если |ос|
мало, бя-периодическое (п = 3)решение локально неустойчиво по обе стороны
от критической точки, а различные возможные исходы, которые обсуждались в
§ IX. 16, имеют место также и здесь. Доказательства этих результатов
несколько более сложны, чем соответствующие доказательства, приведенные в
гл. IX. Однако все эти результаты доказаны Ж. Йоссом при более общих
предположениях относительно отображений (G. Jooss, Bifurcation of Maps
and Applications, Amsterdam: North-Holland, 1979). Здесь мы укажем, как
эти результаты можно получить на основе непосредственного анализа
устойчивости, аналогично анализу, приведенному в гл. IX. _
Пусть <p(t) - произвольное малое возмущение решения i|j(s, а). Тогда V =
