Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 91

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 102 >> Следующая

р(1) = 0, за исключением случая, когда п = 3. бя-периоди-ческие решения
"ф (s, а) = ip (s-f бяп, а), ответвляющиеся от решения U (s, р (")) = U
(s + 2n, р(а)) при а = 0, имеют в точности те же самые периоды, что и ЗГ-
периодические решения, найденные в § IX.14.
Чтобы установить зависимость бифуркационных решений от реального времени,
необходимо найти частоту й(а). Вторую производную П2 от эт°й частоты
можно найти из уравнения (XI.59), используя условие [J)YU), г0']2яп = 0.
Скалярные произведения членов, линейных по Yl имеют вид
[e±,(m'"1)sa(s)]2nn = 0, где a(s) есть 2я-периодическая функция, а
[/'"(Но. U.|Y">|Y">), Z0*]2nn = 2[Fw(р0, UoiToirj, г0*]2я" =
= 2[FTO(p0, и0|Г0|Г0), г"*]2яя. (XI.80)
Отсюда следует, что для я = 1, 2 имеем
co<*>-Q<" = -[/^(p0, и0|Г0|Г0), г"*]2я". (XI.81)
Теперь мы утверждаем, что за исключением вычисления частоты Q(a), бя-
периодическое (п = 3) относительно приведенного времени s
субгармоническое решение обладает всеми свойствами ЗТ-периоди-ческих
решений, найденных в § IX. 14., включая свойства устойчивости
(неустойчивости для р, близких к р0).
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 273
Поэтому обратим наше внимание на случаи субгармонической бифуркации, для
которых пф 1, 2, 3. Для всех таких случаев имеем р(1) = Ua, = Q(l) = ш(1)
= 0. Уравнение (XI.71) здесь также имеет место, но с Y(1) = efT"Zi +е~
i(c"Z1 Это уравнение разрешимо, если выполняются условия (XI.76) для Y13'
с 1 = 0 и 1=1. Эти условия биортогональности при 1 = 0 приводят к
равенству
(o(3)_q(3) = 0. (XI.82)
Вывод уравнения (XI.82) аналогичен выводу (XI.73).
Второе и третье условия [JJY(3), Zi]2"! = ["!1Y(3), Zi*]2nn = 0
разрешимости уравнения (X 1.71) приводят к уравнению
p<2>[{^Yll>-соД'1'}, Zr]2"" =
=[fto(h., u0|rjr0), zn*]2"n[Vii>, z;]1№1 +
+ [Fw(p" U01 Y(1) | Y(2)), ZIU"--5-[Fw(|i., UoIY^IY^IY11'), Z,*]2nn.
(XI.83)
Подставляя теперь (XI.75) в (XI.67) и используя (XI.82) получаем
уравнение
J)Y,2)Ч-fF^,(р0, U0JГ01Г0), Z0]2nZ0
- exp[2i(9" + m/")s)]Fl)t,(p0, ио|Г0|Г0) -
- 2?^ (р", U01Г01Г0)-ехр [(- 2i (ф0+(т/п) s)] Fw(p0, U01Г01 Г")=0. Тогда
разложение (XI.74) приводит к выражению
Y(2) = 2г'ф(1) (е'ф-г, - е~ + х(2).
Решение этого уравнения, ортогональное Zo, Zj и Z,*, имеет вид Х<21 =
(s) + ехр [2t (ф0 + т/п) s)] ?, (s) + ехр [(- 2i (ф0 + (т/п) s)] Xi
(s).
(XI.84)
где ^(s) = ^(s + 2n), Z = 0,1 суть подлежащие определению периодические
функции. В (XI.83) ряд членов после интегрирования обращаются в нуль.
Пусть
g = el (*/")s g (s), где k=+m, ±3т.
Тогда
[g, Z1*].w, = [exp(-f(-^-4)s)g. Г"*]2Я" = 0, (XI.85)
если k-тфт, где r?Z, а 0<т/п<1, 4. Единственными
значениями k=+m, ±3т, для которых r?Z, являются
k = m, п неограничено
и
k = - 3m, п = 4, m = l,3.
274
ГЛАВА XI
Поэтому можно вычислить
[Y"\ Z;]2я = е<ф. {;-?. +[Г., Г0'Ц,
[Fw(ji0, U"1 Y(1) | Y(a>), Z;],(tm)-^^ Uo|Y(1)|X<2"), Z;]2nn = _e-Fw(|i0t
U.miSj), Г0*]2Л +
¦"HtF"" (llo> ^olfolSi)) Fo^jj-j-fF^lpt,, ип|Г0|у, Г0]2Я
и
[F^O*., U,| Y"> | Y'" | Y"")._Z;W =
= e- 8<ф. [e-4< lm/п) s ?m/v U0 | Г0 | Г0 | Г.), Г"*]2ЯП +
[F,^, (ft0, U01Г01Г01 Г"), Г0]2ЯЯ.
Используя эти выражения для членов в правой части уравнения (XI.83) и
проводя упрощение его левой части с учетом (XI. 19), находим, что
•*(,> {ъ~'7"1)е'фл = ^ф' = 0. 5, (XI.86)
М'{2) (?1-'"ТТ(r)*) е'ф" = А.2е'ч>" + А3е_ aif\ п = 4, (XI.87)
где
^а -[^(М'о. и"|Г0|Г0), Zo]2JI-|t - + [Г0, Г0]2я| +
+ [Fw(Ho, U.irolSO, ro']2jl + [FOT(p0, U0 |Г0 |С0), Г0*]2Я-[Fto(r)(M'oi
и0|Г0|Г0|Г0), Г0]2Я,
^¦3= [e~ims F"j, (р0, U0 j Г0 J ^г), Г0]2Я-
-^["¦"'"F.^ftio, ио|Г0|Г0|Г0),Г0*]2я, m=l, 3.
Уравнение (XI.87) имеет вид уравнения (IX.80), а (XI.86)-вид уравнения
(IX. 101).
§ XI.13. Субгармоническая бифуркация для п-\ в полупростом случае
Рассмотрим теперь случай (а) из § XI.4. Нуль является двойным
(полупростым) собственным значением с индексом, равным единице, оператора
Л = У0 с двумя независимыми собственными векторами Г00 и Г01 и двумя
независимыми сопряженными собственными векторами Г*0 и Г*,,
удовлетворяющими условиям биортогональности (X 1.21). Будем искать
субгармоническое решение -ф (s, ос)=ip (s -f- 2л, а) и частоту Q(a) в
виде рядов (XI.49), где a = [Y(s, а), Г^]2Я есть амплитуда. После
вычислений, аналогичных приведенным в § X1.10,
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 275
уравнение (XI.54) принимает вид
(coll>-Q'11) Г,. = / 0Ya). (XI.88)
Так как [У<ДШ, Г;о]2я = 0, а [Г0(), Г0*0]2Я=1, то находим, что
0""ва>'1,="цЧ>"31. (XI.89)
Кроме того, так как /Д(1' = 0, а Г00 и Г01-независимые собственные
векторы оператора У0, то Ya) можно представить в виде линейной комбинации
СЛо + С.Гя. Однако из условия (XI.51), (с Z"' = rj0) следует, что С,=0;
из условия (X 1.51)г и (XI.45), (с 2,' = Ги) получаем, что С,= 1. Поэтому
Y'1' = Ги1. (XI.90)
Снова проводя вычисления, аналогичные приведенным в § XI. 10,
находим, что уравнение (XI.59) с учетом (XI.63), (XI.89) и (XI.90)
принимает вид
(<в">_0"")) Г00 = УД'2' + 2ц'1' (ol)-Fw (р0, U01 Гм | Г01).
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed