Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 90

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 102 >> Следующая

Вычисление периода этого субгармонического решения
i|j(s, a) = Tj3(s + 2n", a), s = Q(a)i
относительно реального времени t связано с дополнительным вычислением
новой частоты Q(a).
Если п = 2, то m= 1, а IZ0 = JZI = 0 (см. § XI.15). Отсюда
следует, что Y (s, а) можно найти в форме разложения
Y (s, a) = aZ1(s) + x(s, a), (XI.60)
при этом выполняется условие (XI.48)
[х(•, а). Z!*]4n = 0,
[Y (-, a), Z']4" = a.
Тогда из (XI.51)j и (Х1.45)2 следует, что
[Y111, гал=1.
а из (XI.57), что
Y^-Z*. (XI.61)
Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо, чтобы
[J)Y"\ г4*]4я = 0, (XI.62)j
[JIY"\ Z0*]4JI-0. (XI.62),
Применяя (XI.62) к (XI.59) и полагая
и со<1) = ц<1>ю1, (XI.63)
находим с учетом (XI. 16), что
ujZxiZx), zru=o,
(XI.64)i
где оператор f определен формулой (Х1.17)2. Используя (XI.20), находим,
что
2na)Ei-[FOT(n0, UojZxIZx), Zr]43t = 0. (XI.64),
270
ГЛАВА XI
Так как > 0, то из (XI.64), определяется значение р(1). В самом деле,
второй член в уравнении (Х1.64)2 имеет вид
[eis/2Fvv (р0, ио|Г0|Г0), Г*]4Я = 0,
так что
р(1) = 0, U(1)(s) = p(1,U1(s) = 0,
й(1>==1(0<1) = }1а)и1 = о) (о(а, = р(2Ч, (XI.65)
1р(1' = -Y (1" = -Zl. (XI.66)
Для последующего удобно выразить уравнения для рассматриваемого здесь
случая п = 2 через Y(1), а не через Zt. Те же самые уравнения
имеют место и для п > 2, однако тогда Y(1) является линейной
комбинацией Ъх и Z4.
Уравнение (XI.59) можно упростить с учетом (XI.65) и (XI.66):
(р'2Ч- Q<2>)Z0 = JY<2>-FOT(p0, U01 Y(1) | YU)). (XI.67)j
Уравнение (XI.67)j разрешимо при выполнении условия (XI.62),
Q'2> = р<24 + [Fw (р", U01 Y(l> | Y">), Z0*]4Jt. (XI.67),
Для вычисления р12) и Q(3) отметим, что с учетом упрощений, связанных с
(XI.65) и (XI.66), уравнение (Х1.52)3 можно записать в виде
(r)<3)Z0 = -DU*31 + p(3)F|1 (р0, U0), (XI.68)
а уравнение (XI.53), - в виде fi'3'Z0-3Q<3% = Ih|><3>-3p'2> F0|i(p0, U0|
Y">)-
-3Fw(Ho. ^o I Yu) | U(2) Y(2)) Fl>OT,(p", U0|Y'l>|Y'"|Y">) +
+ ^13)Рц(м", U0). (XI.69)
Далее отметим, что
U(l) = |i'a,01(s) (XI.70)
и разность между (XI.68) и (XI.69) принимает вид (со(3)-Q(3>) Z0 + 3
(р0, U0 |Y(1) | Y(1>), Z0*]4" Y(1> =
= JY,3> + 3p<2> {f Y(1)- й, Y111} -
-3FOT(po, U0 I Yu) | Y(2)) (Po, U01 YU) | Yll) ( Ya>). (XI.71)
Применяя условие (XI.62), находим, полагая, Zj=Ya), что rt = rFw(p". U0)
Zt| Y'2>), Zi*]4n +
+[Fw(Po. Uol Ziizj, z"*][Zi, z;]w-
UoJZtlZilZJ, гг]4я. (XI.72)
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 271
Вообще говоря, р(2)=^0. Наконец, отметим, что функция Yl2)(s),
определяемая уравнением (XI.67), является не только 4я-периоди-ческой, но
и 2я-периодической; это следует из того обстоятель-
def
ства, что . Z0 (s) =Z0 (s + 2я) и f (s) = Fw (p", U0 (s) | Zf (s) | Zt
(s)) = = eis?vv(V't,> H0 (s) | Г0 (s) | ro(s)) = f (s +2я). Поэтому при
выполнении равенства (XI.72) уравнение (XI.71) разрешимо, если
удовлетворяется условие (Х1.62)2. В (XI.71) все неоднородные члены имеют
вид
еis/2 g(s) = e-is/2 g(s), g(s) = g (s + 2n),
и 4я-скалярные произведения этих членов обращаются в нуль. Таким образом,
[ЛУ13\ г"*]4Я = (о(3)-Q<3) = 0. (XI.73)
Вычисление членов высокого порядка проводится таким же способом. На
каждом шаге используется условие строгого пересечения ?;=7^0, и поэтому
получаемое уравнение разрешимо относительно p(A'.
§ XI. 12. Субгармоническая бифуркация для п >2
Если пф\, 2, то имеем (см. (XI. 15)) J1Z0 = JZX = JZX = 0. Отсюда
следует, что Y (s, а) можно найти в форме разложения
Y(s, a) = a[ei4,(")Z1(s) + e-'4>(")Z1(s)] + )c(s, a), (Х1.74)
при этом выполняется условие (XI.48),
[х(-> "). Zx*]2nn = 0, [Y (•, a), Z;]2jtn = ае'ч><">.
Тогда из (Х1.51)х и (Х1.45)3 следует, что
[Y(1>, =
а из (XI.57), что
Y(1, = e'<i,oZ1+e- ;то- ехр (i (cp0 + -^-s))ro +
+ ехр(-/(Фо + ^-5))г0. (XI.75)
Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо и достаточно, чтобы
[Hw, z;]2""=[y(2", л*г;]2да! = о, / = о, 1, 2. (xi.76)
Сначала запишем условия (XI.76) для уравнения (XI.59) для /=1. Так как
Yl2)-вещественная вектор-функция, то (XI.76) автоматически выполняются
для 1 = 2. Тогда, используя (XI.63), находим
2цш [(^Yi-(r)iYi), Zr]2(tm)-[FOT(p", U.IYJYJ, Z;Un = 0. (XI.77)
Уравнение (XI.77) можно упростить, замечая, что если 3 есть
какой-нибудь линейный 2я-периодический оператор, а Zl=e1(m/n) s Г0 (s),
272
ГЛАВА XI
Z; =ei{m/n)sr,0 (s), то
\2Ъь Zi]inn = [e_2fs.ST,,, Г"*]2яп = 0. (XI.78)
Теперь заменим Y(1) в (XI.77) ее разложением (XI.75) и используем
уравнение (XI.19) для приведения уравнения (XI.77) к виду
2pU> ^Yi - ) е'Ф"-е21фо [F vv (M'Oi UolZ^Zi), 21\гпп -
-2 [F,, (р0, U01 Zt | Zt), z;]2nn-e-2^ [Fw (p0, U01 Zx | ZJ, zr]2WI=o.
(XI.79),
Вторые два члена в (XI.79)f равны нулю,
[ег (m/")sFw(Ho, и01 г. IГ^, Г"*]2яп = 0,
[в-' ""/")• Fw(m" и0|г0|г0), г;]2яп=о,
а последний член обращается в нуль, если пфЗ\
[r"t"/,"Fw(|Ioi U01 Г01Г0), Г0*]2яя = М"з.
Поэтому получаем уравнение
2^u,(vi-'T(r)i )-e-3i^As = 0, (XI.79),
которое, в сущности, совпадает с уравнением (IX.66). Отсюда находим, что
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed