Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
При установившемся течении поток жидкости сквозь поперечное сечение струйки не зависит от местоположения этого сечения. Для двух произвольных поперечных сечений dSx и dS2 элементарной струйки выполняется условие P1UjdS1 = p2i;2dS2.
движения жидкости (
I df
334
111.3. ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
Г лава 3 ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЕЙ
1°. Уравнения движения жидкости выражают закон изменения импульса, записанный в переменных Эйлера для единицы массы движущейся жидкости. В случае идеальной жидкости необходимо учитывать действие массовых сил и сил давления, а в случае вязкой жидкости — еще действие диссипативных сил (сил трения).
Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):
а) в векторной форме
? = F-I gradp, df р
или
+ (v - V) v = F - і gradр, at р
где F — напряженность поля массовых сил, р — давление, р — плотность жидкости, а оператор V-V =
= °хЭх + + ’
б) в проекциях на оси координат
= F - I дР dt х рдх’
=F -df у р Э у’
du’ = V _ 1 Эр
или
___ F____________
df z р Эг ’
dv„ Эи„ Эо,. dv і
111-3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
335
f-v 3v rv ^
В случае установившегося движения її = 0и -—і =
of at
= = =0 Bt dt
Обычно можно считать, что при движении идеальной жидкости ее удельная энтропия не изменяется. В этом случае, как следует из термодинамики,
і dp = dh, и I grad р ’= grad h,
P P
где h — удельная энтальпия жидкости.
2°. Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навъе—Стокса):
а) в векторной форме
— = F — і grad р + vAv + (2 + Y lgrad div v,
df p 3 )
где V = 5 — коэффициент кинематической вязкости
жидкости, Г] — коэффициент динамической вязкости, или коэффициент внутреннего трения, ? — вторая
^2 02 -\2
(объемная) ъязкость, а А = —- + —- + —- — опера-
Эх2 Sy2 дг2
тор Лапласа (часто оператор Лапласа обозначают также через V2);
б) в проекциях на оси координат
dtf* л 1 до Ґ Э2и d2v д2и
—Ї = P _?0?+у| _* + + -f +
dz2 J
df xP Эх V дх2 ду2 dz2
+ fS+vHf^+^+—: I
I4 р 3 у Эх V, Эх dy dz J
= F -ldP +у(д2°» + Э*Р» + Э*Р0 + dt у р ду V Эх2 ду2 ЭZ2 )
+ (Ч +? + ^}
U 3 J dy I Эх Эу дг У
г. 1 Эо ( Э2иг Э21>- А
--- = F,-- +V ----? + --? + --- +
df г pdz V Эх2 dy2 dz2 )
'C . V) д (д»х duy dvz
¦f ? -I- X ( ^ + I
I4P 3 J дг V4 дх ду дг J
336
111.3. ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
Для несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности следует, что div V = О, и уравнение Навье— Стокса имеет вид
— =F-i gradр + vAv. (3.1)
at р
Учитывая, что
? = ?+(v-V)v’
(v • V)v = Vv2 - v x V x v,
V x Vp =Vx Vv2 = О,
уравнение (3.1) может быть представлено в форме, не содержащей давления р:
— Vxv = VxF +Vxvx Vv + V Д V х V.
ЙІ
Если поле массовых сил потенциальное, каким является, например, поле тяготения, то rot F = O-B случае идеальной жидкости (v = 0) последний член уравнения также равен нулю.
3°. Коэффициент второй вязкости подобно (первому) коэффициенту динамической ВЯЗКОСТИ Г], является положительной величиной и зависит от химической природы сжимаемой жидкости, давления и температуры. Если первая вязкость проявляется при деформации чистого сдвига, то вторая — при деформации всестороннего сжатия, сопровождающейся изменением плотности жидкости. При сжатии и расширении в жидкости нарушается термодинамическое равновесие, и в ней возникают процессы, стремящиеся восстановить это равновесие. Так как процессы установления равновесия необратимы, то они сопровождаются возрастанием энтропии, свидетельствующим о диссипации энергии. Эта диссипация энергии и определяющая ее вторая вязкость ? будут тем большими, чем медленнее протекают процессы восстановления равновесия по сравнению с процессом сжатия или расширения. Например, величина ? должна быть велика, если при сжатии или расширении в жидкости нарушается химическое равновесие, и возникает химическая реакция, имеющая большое время релаксации, т. е. малую скорость. В случае сжатий и разрежений, вызываемых звуковыми волнами, С, зависит от частоты (дисперсия второй вязкости).
4°. 'Основной задачей гидроаэродинамики является нахождение полей скорости, давления и плотности в
Ill 3 1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
337
жидкости, движущейся под действием заданных внешних сил, т. е. нахождение следующих пяти функций координат и времени:
vX = fAx' У¦ г’ *)> vy = У’ г' *)> Vz = f3(x, у, z, t),
P = fi(x, у, г, t), р = f5(x. у, z, t).
Уравнения движения и неразрывности достаточны для решения основной задачи гидроаэродинамики всякой жидкости, у которой плотность и оба коэффициента вязкости зависят только от давления, причем вид этих зависимостей задан: р = р(р), ? = С(р) и г] = Г](р). В частности это верно для идеальной несжимаемой жидкости (р = const, г] = ? = О), идеальной баротропной жидкости (rj = С, — О), а также для изотермического движения вязкой жидкости.
Во всех остальных случаях для решения основной задачи гидроаэродинамики необходимо рассматривать расширенную систему уравнений, состоящую из уравнений движения, неразрывности, энергии, состояния жидкости и уравнений, выражающих зависимости динамической и второй вязкостей от параметров состояния жидкости.
