Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Устойчивое
равновесие
Неустойчивое
равновесие
Рис. 1.6.21
6 іак 2940
162
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
нее, то такую точку называют узлом (рис. 1.6.22). Если фазовые траектории входят в узел, то ему соответствует состояние устойчивого равновесия, а если фазовые траектории выходят из узла, то ему соответствует состояние неустойчивого равновесия.
Пример. Движение математического маятника при произвольных начальных условиях. Фазовые траектории изображены на рис. 1.6.23. Точки оси абсцисс 0; ±2я являются центрами, а точки ±л — седлами. При достаточно больших начальных скоростях фазовые траектории носят волнообразный характер и нигде не пересекают ось абсцисс; этим траекториям соответствуют убегающие движения маятника, т. е. неограниченное увеличение угла отклонения маятника.
4°. Предельным циклом называют такую замкнутую кривую С, на которую навиваются или с которой свиваются спиральные фазовые траектории, находящиеся вблизи кривой С. Если окрестные фазовые траек-
Рис. 1.6.23
I 6.4. КОЛЕБ НЕЛИН. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 163
тории навиваются на кривую С, то она называется устойчивым предельным циклом (рис. 1.6.24), а если свиваются с нее, то — неустойчивым предельным циклом. Если фазовые траектории, лежащие по одну сторону от кривой С, навиваются на нее, а лежащие по другую сторону от этой кривой свиваются с нее, то она называется полуус-тойчивым предельным циклом.
5°. Предельные циклы нелинейных автономных систем имеют следующие отличия от замкнутых фазовых траекторий, описывающих колебания консервативных систем и окружающих особую точку типа центра: 1) предельные циклы являются изолированными кривыми, тогда как замкнутые фазовые траектории для консервативных систем образуют непрерывное семейство; 2) движение по предельному циклу не зависит от начальных условий; для консервативных систем именно начальные условия осуществляют выделение той или иной фазовой траектории из непрерывного семейства.
6°. Если имеется несколько предельных циклов, образующих концентрическую систему, то устойчивые предельные циклы чередуются с неустойчивыми предельными циклами; при этом особая точка, расположенная внутри семейства предельных циклов, может рассматриваться как стянутый в точку предельный цикл.
7°. Мягким самовозбуждением называют переход сис-'•мы из состояния неустойчивого равновесия к движение по устойчивому предельному циклу (рис. 1.6.25). ¦ гстким самовозбуждением называют переход системы из состояния устойчивого равновесия к движению по устойчивому предельному циклу; для этого необходимо достаточно большое начальное возмущение, спо-
I лбное «забросить» начальную фазовую точку за кон-
Неустойчивая
предельный цикл Рис. 1.6.24
164
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
тур неустойчивого предельного цикла, расположенного между устойчивой особой точкой и устойчивым предельным циклом (рис. 1.6.25).
8°. Квазилинейными называют механические системы, движение которых описывается дифференциальным уравнением
If + “° * = й)*
Рис. 1.6.25
содержащим малый параметр ц. Переход к «безразмерному времени» т = Co0f приводит к дифференциальному уравнению
S+-'(*•?> |6'8)
в котором
Приближенное решение уравнения (6.8) имеет вид
X = р COS (х - 0),
где р и 0 — медленно меняющиеся функции времени, определяемые уравнениями установления-.
= цф(р), = цЧЧр), ах пт
в которых
271
ф(р) =- J /(р COS ?, -р sin ?) sin ? d^, (6.9)
о
V Устойчивая
особая точка ^7Y
Неустойчивый \ предельный цикл
Устойчивый предельный цикл
2зт
1F(P) = J /(P cos -р sin Ц cos \ d^.
о
1.6 4. КОЛЕБ. НЕЛИН. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 165
Здесь Яр cos E1, —р sin E1) — результат подстановки в функцию f[x, выражения р cos E1 вместо х и выра-
i, Hv
жения -р sin q вместо — .
dx
п р и м е р. Уравнение Ван-дер-Поля: х + х = |а(1 — р2)х .
По формулам (6.9) находим:
Ф(Р)= I (4-P2), 1F(P) = O.
Уравнения установления имеют вид
g-sjW,. g-o.
Закон изменения амплитуды р во времени: р= 2
Vl + Cc-VT
где С — постоянная, зависящая от начальных условий. При т—величина р стремится к значению р = 2, и движение устанавливается по предельному циклу. Закон движения имеет вид:
X = 2 cos т.
Раздел Il
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
Г л а в а 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1°. Молекулярной физикой называют раздел физики, в котором изучаются физические свойства и агрегатные состояния тел в зависимости от их молекулярного строения, сил взаимодействия между частицами, образующими тела, и характера теплового движения этих частиц. Для теоретического исследования указанных вопросов используются два взаимно дополняющих друг друга метода — статистический и термодинамический.
2°. Статистический метод состоит в изучении свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью методов математической статистики, закономерностей теплового движения огромного числа микрочастиц, образующих эти системы.
3°. Термодинамический метод состоит в изучении свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергии. Эти вопросы изучаются в разделе теоретической физики, называемой термодинамикой (феноменологической термодинамикой).
