Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
158
I 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ответствуют восходящей и нисходящей ветвям петли гистерезиса. При п = 1 уравнение огибающей затухающих колебаний имеет вид
Ь<<?>0 л л 2lt
A=A^e ;
уравнение огибающей затухающих колебаний при п Ф 1:
А —---- А°----------------
n-\j1 + (n~ 1)fcAo
Г. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. Дифференциальное- уравнение колебаний недиссипативной системы при действии гармонической возмущающей СИЛЫ имеет ВИД
X + f(x) = F0 sin fit,
где F0 — амплитуда возмущающей силы, отнесенная к единице массы, fi — циклическая частота.
2°. В случае кубической симметричной квазиупру-гой характеристики
f(x) = IOq X + Px3i
уравнение
X + COq X + P*3 = F0 sin fi/
имеет приближенное решение
х=А sin fit + -M- (sin fi/ - sin 3fit),
32mq
содержащее, кроме основной гармоники, также гармонику с тройной циклической частотой. Амплитуда колебаний определяется из кубического уравнения
(O2-COq)A- I PA3+ F0= 0.
При малых значениях циклической частоты fi уравнение имеет один действительный корень, а при больших частотах — три действительных корпя; каждому
1.6.4. КОЛЕЕ НЕЛИН СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 159
из них соответствуют колебания с определенной амплитудой. Многозначность решения означает, что при данной циклической частоте возмущающей силы возможны колебания с разными амплитудами, однако не все возможные виды колебаний устойчивы. На рис. 1.6.18, а изображена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от циклической частоты возмущающей силы для P > 0. Пунктиром показаны неустойчивые решения, лишенные физического значения.
Последовательность изменения амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении циклической частоты возмущающей силы отмечена на рис. 1.6.18, а стрелками. При увеличении Si амплитуда А колебаний возрастает, следуя верхней ветви графика. Как только начинается уменьшение циклической частоты Si, сразу происходит «срыв» амплитуды на нижнюю ветвь графика. Дальнейшее уменьшение значений Si приводит к новому «перескоку» амплитуды на верхнюю ветвь графика.
3°. Кроме колебаний с циклическими частотами SI, 3S1 и т. д. (f2 — циклическая частота возмущающей силы), в нелинейных системах возможны субгармонические колебания, циклические частоты которых в целое число раз меньше циклической частоты возмущающей силы.
4°. При действии полигармонической возмущающей силы типа F1 sin Si^t + F2 sin Si2t, кроме колебаний с циклическими частотами Q1 и П2, возникают колебания с комбинационными циклическими частотами Q1 + O2 и Ai - Q2- Наибольшее значение имеют низкочастотные комбинационные колебания, соответствующие циклической частоте Q1 - Sl2 (эти колебания также иногда называются субгармоническими).
Рис. 1.6.18
160
I 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Д. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний нелинейной системы с вязким сопротивлением и кубической квазиупругой характеристикой имеет вид
X + ЦХ + COq X + Px3 = F0 sin Qt.
2°. Амплитуду колебаний приближенно находят из уравнения
(fi2 - Wo)A-pA3±F0 = 0.
V fO
Зависимость A(H) для P > 0 имеет вид, изображенный на рис. 1.6.18, б. Пунктиром отмечены неустойчивые решения.
Е. АВТОКОЛЕБАНИЯ
1°. Для исследования характера движения сложных (в частности, автоколебательных) систем используется понятие о фазовой плоскости — плоскости переменных XHV= X . Каждому мгновенному состоянию системы, характеризуемому величинами ж и и, на фазовой плоскости соответствует одна точка, называемая фазовой или изображающей точкой. Каждому процессу движения системы отвечает определенная кривая на фазовой плоскости, называемая фазовой траекторией.
2°. Фазовые траектории являются интегральными кривыми уравнения
(6.7)
dx v
в котором f(x, v) = f(x, х ) — функция, входящая в дифференциальное уравнение (6.7) движения автономной системы. Точки фазовой плоскости, в которых f(x, и) = 0 и v=0, называют особыми точками. Особым точкам соответствуют состояния равновесия системы. Все другие точки фазовой плоскости называют обыкновенными точками. Через каждую обыкновенную точку проходит одна и только одна фазовая траектория.
1.6.4. КОЛЕБ. НЕЛИН. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП. СВОБОДЫ 161
3°. Особая точка, через которую не проходит ни одна из фазовых траекторий и которую окружают замкнутые фазовые траектории, называется центром (рис. 1.6.19); центру соответствует состояние устойчивого равновесия.
Если вблизи особой точки фазовые траектории являются гиперболами, а через саму особую точку проходят только две фазовые траектории, то такая точка называется седлом (рис.
1.6.20); седлу соответствует состояние неустойчивого равновесия.
Если вблизи особой точки фазовые траектории имеют вид спиралей, навивающихся на эту точку или свивающихся с нее, то эта точка называется фокусом, причем в первом случае (рис. 1.6.21,а) равновесие устойчиво, а во втором случае (рис. 1.6.21,6) равновесие неустойчиво.
Если в окрестности особой точки фазовые траектории имеют параболический вид и все проходят через
