Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 40

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 307 >> Следующая


S1 + COq G1 = 0,

G2 + ^COq + ?^62 = 0,

где (O0 = — циклическая частота колебаний свобод-

ных маятников. Собственные циклические частоты

системы равны (O0 и Ыд + —; G1 = A1 cos (co0t + ф0) и iV ш

Q2 =A2 cos (^(O0 11 + -^2 t + ф2].

^ т W0

Б. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

1°. Если в системе отсутствует сухое трение, то в случае малых колебаний можно считать, что обобщенные силы трения Fjrp, соответствующие обобщенным координатам Q1, являются линейными функциями

S

обобщенных скоростей: FlTfs = — ^ Ciiil Xk , где S — чис-

k = 1

ло степеней свободы системы, Xk — отклонения ее обобщенных координат qk от их равновесных значений qk0, qlk — обобщенные коэффициенты трения (aifc = <xki), которые можно считать постоянными.

Зависимость полной механической энергии W системы от времени имеет вид
150

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

где Ф = і ^ QLikXjXk — диссипативная функция сис-

I, к = 1

темы, являющаяся существенно положительной, так как механическая энергия W в процессе свободных колебаний системы непрерывно убывает.

2°. Уравнения Лагранжа для системы имеют вид

A HIl — HIl =F = — — (i = I 2

dt Hxi Hxl iTp dxt ( ’ ’

Пользуясь для функции Лагранжа выражением (6.1), получаем:

S

S + + Рл) = о (i = 1, 2,..., s). (6.1')

ft= і

3°. Решение этой системы однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка проводится аналогично тому, как это сделано для системы (6.1); неизвестные функции xk(t) следует искать в форме Xk = Ak^t. Соотношения между постоянными коэффициентами Ak определяются из системы однородных линейных алгебраических уравнений:

S

S + aikx + = 0 (і = 1» 2, ..., S).(6.4)

ft = 1

Характеристическое уравнение, служащее для определения значений X, имеет вид

0.

Pu + Axx11 + ^fr11 Pl2 + Xa12 + Х2Ь12 . •Pb + Xals + Х2Ъ
Р21 + Xa21 + Х*Ъ21 Р22 Xa22 + Х2Ь22 ¦ • Рг® + Xa2s + Х2Ъ
Psl + Xasl + Мл Ps2 + *«s2 + х\2.. • Pss + ^ass + x2bs

Оно имеет 2s корней, которые, в силу вещественности коэффициентов Pift, aik и bik, являются либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными, •к

т. е. Xi = щ + Ш/ и X1 = р., — ico(, причем ц, < 0, а ы, > 0.
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ. СИСТ С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 151

Значения Ak = Ak(Kl), получаемые из системы (6.4) для каждой пары комплексно сопряженных корней, являются комплексно сопряженными:

AkO-i) = уы + i^kl’ AkCkl ) = уы - і'6к1 = Ak (X1).

Общее решение системы (6.1'), в случае, когда все

корни X1 разные и комплексно сопряженные, имеет вид

Vlt Г ito.f I

xk = Xе Re Wxf>cfe >

і = I ^

где C1-— комплексные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (т. е. значений Xh и Xk при t = О), а символ Re означает вещественную

часть комплексной функции, стоящей в фигурных скобках.

Если корень X1 веществен (ы; = 0), то ему в выражении для xk(t) соответствует апериодическая составляю-V

щая е Ak(Xl) Re{C(}. Если все корни X1 вещественны, то движение системы будет полностью апериодическим.

В. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ

1°. В нормированных нормальных координатах Q1 дифференциальные уравнения движения системы распадаются на s независимых уравнений для одномерных вынужденных колебаний, соответствующих каждой из нормальных координат Q1:

Qi + Qi ~ fi(t} {I ~ 2,..., s),

s ^ (V)2)

где со( и ft(t) = J Fk(t)-^—J— — собственная цикличе-ft= 1 &

ская частота колебаний системы и обобщенная внешняя сила, соответствующие нормальной координате Q1, Fk(t) — обобщенная внешняя (возмущающая) сила, сопряженная с обобщенной координатой Xk.
152

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Условием возникновения резонанса является наличие среди гармоник силы /;(<) такой, циклическая частота которой близка к Oil.

2°. Для системы с двумя степенями свободы, соответствующими обобщенным координатам X1 и х2, связь между обобщенными возмущающими силами Fk(t) и f L(l) имеет вид

Y1-Fi (t) + F2(t)

flit) = f2V)

y2Fi(t) + F2(t)

Jb2

где у/ и bt имеют тот же смысл, что на стр. 144.

Пример. Двойной пружинный маятник (рис. 1.6.15). Колебания совершаются под действием возмущающей силы F(t). Кинетическая и потенциальная энергии маятника равны:

WK = \ («1*1 + т2*2 )> wn = I [flIxI + “2^2 - *i)2]-

где X1 и X2 — смещения материальных точек Tn1 и т2 из положений их устойчивого равновесия;

6ц = Tti1, Ь12 = О, Ь22 = т2;

Pu = aI + а2’ Р12 ~ Р21 = ~а2’ Р22 = а2-Из уравнений, приведенных на стр. 144, следует, что:

Y1 = A+ /*2 + -р , Y2 = *'

1 Шп а, + а9

где ft = і --1 -I--------------? ;

2 Tn1 2 а2

b1 — fttjPi, b2 — m1p2, P1 — Ci1Ti1, P2 O1Ti2,

P1 = 2(k2 + — + k 1V m j Tn1)

\F(t) =

= F0Cos Qi

Рис 1.6.15

P2 = 2{k2 + — -ft +

( m, ц In1 I
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ СИСТ С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 153

ni = fl + ^?2*2+^* + 2k Ik2 + "^ U

^ O1 Tnl /J In1 J

+ — Tl - 2ft - 2 Ik2 + "^),

atV TnlJ

n2 = f I + — -If 2ft2 + 1^2 2k k2 + ^) +

\ O1 J\ M1 of Tnl)

— Tl - 2ft + 2 Ik2+^2).

O1 V. TnlJ

Квадраты собственных циклических частот равны:
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed