Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
S1 + COq G1 = 0,
G2 + ^COq + ?^62 = 0,
где (O0 = — циклическая частота колебаний свобод-
ных маятников. Собственные циклические частоты
системы равны (O0 и Ыд + —; G1 = A1 cos (co0t + ф0) и iV ш
Q2 =A2 cos (^(O0 11 + -^2 t + ф2].
^ т W0
Б. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
1°. Если в системе отсутствует сухое трение, то в случае малых колебаний можно считать, что обобщенные силы трения Fjrp, соответствующие обобщенным координатам Q1, являются линейными функциями
S
обобщенных скоростей: FlTfs = — ^ Ciiil Xk , где S — чис-
k = 1
ло степеней свободы системы, Xk — отклонения ее обобщенных координат qk от их равновесных значений qk0, qlk — обобщенные коэффициенты трения (aifc = <xki), которые можно считать постоянными.
Зависимость полной механической энергии W системы от времени имеет вид
150
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
где Ф = і ^ QLikXjXk — диссипативная функция сис-
I, к = 1
темы, являющаяся существенно положительной, так как механическая энергия W в процессе свободных колебаний системы непрерывно убывает.
2°. Уравнения Лагранжа для системы имеют вид
A HIl — HIl =F = — — (i = I 2
dt Hxi Hxl iTp dxt ( ’ ’
Пользуясь для функции Лагранжа выражением (6.1), получаем:
S
S + + Рл) = о (i = 1, 2,..., s). (6.1')
ft= і
3°. Решение этой системы однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка проводится аналогично тому, как это сделано для системы (6.1); неизвестные функции xk(t) следует искать в форме Xk = Ak^t. Соотношения между постоянными коэффициентами Ak определяются из системы однородных линейных алгебраических уравнений:
S
S + aikx + = 0 (і = 1» 2, ..., S).(6.4)
ft = 1
Характеристическое уравнение, служащее для определения значений X, имеет вид
0.
Pu + Axx11 + ^fr11 Pl2 + Xa12 + Х2Ь12 . •Pb + Xals + Х2Ъ
Р21 + Xa21 + Х*Ъ21 Р22 Xa22 + Х2Ь22 ¦ • Рг® + Xa2s + Х2Ъ
Psl + Xasl + Мл Ps2 + *«s2 + х\2.. • Pss + ^ass + x2bs
Оно имеет 2s корней, которые, в силу вещественности коэффициентов Pift, aik и bik, являются либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными, •к
т. е. Xi = щ + Ш/ и X1 = р., — ico(, причем ц, < 0, а ы, > 0.
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ. СИСТ С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 151
Значения Ak = Ak(Kl), получаемые из системы (6.4) для каждой пары комплексно сопряженных корней, являются комплексно сопряженными:
AkO-i) = уы + i^kl’ AkCkl ) = уы - і'6к1 = Ak (X1).
Общее решение системы (6.1'), в случае, когда все
корни X1 разные и комплексно сопряженные, имеет вид
Vlt Г ito.f I
xk = Xе Re Wxf>cfe >
і = I ^
где C1-— комплексные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (т. е. значений Xh и Xk при t = О), а символ Re означает вещественную
часть комплексной функции, стоящей в фигурных скобках.
Если корень X1 веществен (ы; = 0), то ему в выражении для xk(t) соответствует апериодическая составляю-V
щая е Ak(Xl) Re{C(}. Если все корни X1 вещественны, то движение системы будет полностью апериодическим.
В. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. В нормированных нормальных координатах Q1 дифференциальные уравнения движения системы распадаются на s независимых уравнений для одномерных вынужденных колебаний, соответствующих каждой из нормальных координат Q1:
Qi + Qi ~ fi(t} {I ~ 2,..., s),
s ^ (V)2)
где со( и ft(t) = J Fk(t)-^—J— — собственная цикличе-ft= 1 &
ская частота колебаний системы и обобщенная внешняя сила, соответствующие нормальной координате Q1, Fk(t) — обобщенная внешняя (возмущающая) сила, сопряженная с обобщенной координатой Xk.
152
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Условием возникновения резонанса является наличие среди гармоник силы /;(<) такой, циклическая частота которой близка к Oil.
2°. Для системы с двумя степенями свободы, соответствующими обобщенным координатам X1 и х2, связь между обобщенными возмущающими силами Fk(t) и f L(l) имеет вид
Y1-Fi (t) + F2(t)
flit) = f2V)
y2Fi(t) + F2(t)
Jb2
где у/ и bt имеют тот же смысл, что на стр. 144.
Пример. Двойной пружинный маятник (рис. 1.6.15). Колебания совершаются под действием возмущающей силы F(t). Кинетическая и потенциальная энергии маятника равны:
WK = \ («1*1 + т2*2 )> wn = I [flIxI + “2^2 - *i)2]-
где X1 и X2 — смещения материальных точек Tn1 и т2 из положений их устойчивого равновесия;
6ц = Tti1, Ь12 = О, Ь22 = т2;
Pu = aI + а2’ Р12 ~ Р21 = ~а2’ Р22 = а2-Из уравнений, приведенных на стр. 144, следует, что:
Y1 = A+ /*2 + -р , Y2 = *'
1 Шп а, + а9
где ft = і --1 -I--------------? ;
2 Tn1 2 а2
b1 — fttjPi, b2 — m1p2, P1 — Ci1Ti1, P2 O1Ti2,
P1 = 2(k2 + — + k 1V m j Tn1)
\F(t) =
= F0Cos Qi
Рис 1.6.15
P2 = 2{k2 + — -ft +
( m, ц In1 I
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ СИСТ С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 153
ni = fl + ^?2*2+^* + 2k Ik2 + "^ U
^ O1 Tnl /J In1 J
+ — Tl - 2ft - 2 Ik2 + "^),
atV TnlJ
n2 = f I + — -If 2ft2 + 1^2 2k k2 + ^) +
\ O1 J\ M1 of Tnl)
— Tl - 2ft + 2 Ik2+^2).
O1 V. TnlJ
Квадраты собственных циклических частот равны: