Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Механическую систему называют голономной, если она подчинена только голономным связям. Если в числе связей имеется хотя бы одна неголономная связь, то механическую систему называют неголономной.
2. СКОРОСТЬ ТОЧКИ
1°. Скоростью (или мгновенной скоростью) называют векторную величину V, равную первой производной по времени от радиуса-вектора движущейся точки:
v _ dr _ .
V — - — г .
at
Скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и равна первой производной от длины пути по времени:
V = Ё* = S.
dt
Проекции скорости vx, Vy и Vz на оси прямоугольных декартовых координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки:
Vx= X, Vy = у, V2= Z.
Отсюда
v=xi+yj+zk, V = Jx2 + у2 + Z2 .
В цилиндрических координатах
V = Jp2 + (рф)2 + Z2 ;
в сферических координатах
V = Jr2 + (r0)2 + (rcpsinO)2 .
I 1.2. СКОРОСТЬ ТОЧКИ
13
(лучевую) скорость Vp и транс- ^ версальную (поперечную) скорость Vip (рис. 1.1.2):
2°. В случае плоского движения, заданного в полярных координатах, скорость V точки M (р, ф) можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие — радиальную
V.
P
X
Рис. 1.1.2
причем
V1 р, Vv = ф(к X
P. Vv = ф(к X р),
t-.tr р .”•> ирт.ш радиус-вектор, проведенный из почин <» н і очі. у М, а к — единичный вектор, направленими игриепдикулярно к плоскости движения точки ' ..ким образом, что из его конца вращение радиуса-век-1И|М р в сторону увеличения угла ф видно происходящим против часовой стрелки (на рис. 1.1.2 вектор к її.шравлен из-за чертежа перпендикулярно к его плос-I -чти). Запись к х р означает векторное произведение и*- кторов к и р. Проекции радиальной и трансверсально» скоростей точки M на направления соответственно радиуса-вектора р и прямой, проведенной перпендикулярно к р в сторону возрастания угла ф:
Пример. Движение точки задано уравнениями: х = at cos Ы, у = at sin Ы и г = О,
где аиЬ — постоянные коэффициенты. В полярных координатах уравнения движения точки будут: р = at и Ф = Ы. Следовательно, р — а, ф = Ъ,
3°. Движение точки называют равномерным, если модуль ее скорости не зависит от времени (v = const). Длина пути, пройденного равномерно движущейся точкой, является линейной функцией времени:
uP=P- Цр = РФ-
Up = a, Vlf = abt и
s = v(t - t0).
14
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
4°. Средней путевой скоростью точки в промежутке времени от t до t + At называют скалярную величину v„„,
up
равную отношению длины пути As, пройденного точкой за этот промежуток времени, к его продолжительности At:
Vr. (t, At)=*?= .
ср At At
В пределе при At —» 0 скорость Vcp совпадает с модулем скорости точки в момент времени t:
Iim Ucp (*» aO = lim % = й = и(0-
At^tO F д«->оД* at
В случае равномерного движения i>cp = v.
Вектором средней скорости точки Vcp в промежутке времени от t до t + At называют отношение приращения радиуса-вектора Ar точки за этот промежуток времени к его продолжительности At:
V ft А + \ = Дг = r(t + At) -r(t) vcplr’ **) ы й •
В пределе при At —» 0 вектор средней скорости совпадает с вектором скорости точки в момент времени t:
lim vcp At) = lim ^ = = v(f).
At->0 Р At->0 At dt
При равномерном прямолинейном движении точки vcp = V. Модуль вектора Vcp совпадает со средней путевой скоростью Vcp только в тех случаях, когда точка движется прямолинейно с неизменной по направлению скоростью V. Во всех остальных случаях |vcp| < vcp.
5°. Секторной (секториалъной) скоростью точки по отношению к какому-либо полюсу называют скалярную величину ст, равную первой производной по времени от площади S поверхности, прочерчиваемой радиусом-вектором этой точки, проведенным из полюса:
О = ^jJ = і |г х v| = I ru sin (г, v),
где rHV — радиус-вектор и скорость точки, а г и v — модули этих векторов. Если движение точки происхо-
1.1.3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
15
дит в плоскости, а полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат хОу, взятой на этой плоскости, то
ст = \ (xvv ~ yvJ = I р2*Р ’
где р и ф — полярные координаты точки.
3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1°. Ускорением (или мгновенным ускорением) называют векторную величину а1*, характеризующую быстроту изменения скорости движущейся точки и равную ІН'рНОІІ ПрОІІ.ІІіОДПОЙ от скорости по времени, или второй прон.шоднои от радиуса-вектора по времени:
dv • d2r
a = —=v, или а = — = г .
df df2
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, проходящей через главную нормаль и касательную к траектории, и направлен в сторону вогнутости траектории.
Проекции ах, ау, аг ускорения на оси прямоугольной декартовой системы координат равны:
ах = Vx = х, ау = Vy = у , az = vz = 'z.
Отсюда
a = ici + ?j + zk,
I a I = a = Jx2 + у2 + Z2 .
В цилиндрических координатах
a = M - рф2)2 + (рср + 2рф)2 + Z2 ;
в сферических координатах
а = [(г — гф 2 sin2 0 - г0 2)2 + (2 гф sin 0 + rip sin 0 + + 2г0ф cos 0)2 + (2r0 + rQ — гф2 sin 0 cos 0)2 ]1/,z.
