Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 36

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 307 >> Следующая


Если потенциальную энергию отсчитывать от значения в состоянии q = д0, то Wn(q0) = 0, и ряд Тейлора для Wxl(q) имеет вид

Колебания называют малыми, если в правой части этого равенства всеми членами, кроме первого, можно пренебречь, так что

где х = q — q0 — смещение системы из состояния устойчивого равновесия.

2°. Дифференциальное уравнение малых колебаний системы имеет вид

\ 4q)q2, Wn = WB{q),

(g-gp)3 +

И

wK(?) = \ ьШяо = »

b0x + P0X = 0.
I 6 2. МАЛЫЕ КОЛЕБ СИСТ С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 131

d W

Величина P0X = --J--' представляет обобщенную

силу Fx, сопряженную с обобщенной координатой х.

Обобщенную силу Fx = —fi0x, где P0 > O7 называют квазиупругой силой, а величину P0 — коэффициентом квазиупругой силы.

3°. Малые колебания системы являются гармоническими:

х = A cos (co0f + Cp1).

TJf 1^>

Их циклическая частота со0 = I— определяется

AjO0

свойствами системы и называется собственной циклической частотой колебаний консервативной системы.

IiT0

Период колебаний T= 2 я . Амплитуда А и на-

aJ Po

чальная фаза Cp1 определяются из начальных условий. Например, если в момент времени ( = 0* = *0иі = Xq , то

Л~ JxHff- tg(pi

Амплитуда свободных колебаний консервативной системы не зависит от времени. Поэтому такие колебания называют незатухающими.

4°. Кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний системы являются периодически-

T

ми функциями времени с периодом T' = — = Jt

wk = I ь(Аг too sin2 (tV + Фі)>

Poa2cqS2(<°0f + Фі) = \ bOA2 wO cqS2(coOf + Фі)"
132

I 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Полная механическая энергия гармонических колебаний системы

Примеры.

1. Пружинный маятник— тело, совершающее прямолинейные колебания вдоль оси Ox под действием упругой силы F = -kx (k — коэффициент

масса тела. Циклическая частота и период колебаний равны:

2. Математический маятник — материальная точка М, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 1.6.3):

ЬоА2 Mq = const.

жесткости пружины); P0 = k, Wk = і тXz и Ь0 = т —

Wk = і ml2a2, b0 = ml2,

Wn = mgl(I - cos a) = 2 mgl sin2 ^ .

В случае малых колебаний sin ^ ~ ^ >

Период колебаний равен

MI

При произвольных значениях угла отклонения а колебания математического маятника являются нелинейными.

Рис 1.6.3

3. Циклоидальный маятник — материальная точка М, движущаяся под действием силы тяжести вдоль циклоиды, ось которой вертикальна, а выпуклость обра-
1.6.2. МАЛЫЕ КОЛЕБ СИСТ С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 133

щена вниз (рис. 1.6.4). Если за начало отсчета потенциальной энергии точки принять ее значение в вершине циклоиды О' и за обобщенную координату — длину s дуги циклоиды, отсчитываемую от точки О', то

Wk =| ms2 и Wn-rMs2,

так что

о = mg Ро 4Ї’

где а — параметр циклоиды (радиус производящей окружности). Колебания возможны, если полная энергия маятника W = Wk + Wn < 2mga. Колебания циклоидального маятника изохронны, т. е. их период не зависит от амплитуды колебаний и всегда равен

T = 2л .

Ч g

4. Физическии маятник — абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С (рис. 1.6.5):

^к=\ Ja2, b0 — J,

Wn = mg <2(1 — cos а) = 2 mg d sin2 ^ ,

где а. — угол отклонения из положения равновесия, J— момент инерции тела относительно оси качания О, d — расстояние от оси

О до центра тяжести С.

В случае малых колебаний sin - ~ - , W' »

2 2 п

а і mg da.2 и P0 = mgd. Период колебаний равен
134

I 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Приведенной длиной Inp физического маятника называют длину математического маятника, имеющего

такой же период колебаний: , > d, так как по

пр md

теореме Штейнера — Гюйгенса J = Jc + md2 > mdz. Точку O1, лежащую на линии ОС на расстоянии OO1 = Znp, называют центром качания физического маятника. Точка подвеса О и центр качания O1 обладают взаимностью: при переносе точки подвеса в точку O1 точка О становится центром качания, так что период колебаний маятника не изменяется.

5. Крутильный маятник — твердое тело, подвешенное на вертикальном невесомом упругом стержне (нити), верхний конец которого закреплен неподвижно, а ось Oz совпадает с одной из свободных осей тела (рис. 1.6.6). Крутильные колебания обусловлены упругими силами, возникающими в стержне при его кручении вокруг оси Oz.

В случае малых колебаний Wrlt = | Ja2 и

Wn = і са2, так что Ь0 = J и P0 = с, где a —

угол поворота маятника вокруг оси Oz из положения равновесия, J — момент инерции маятника относительно оси Oz, с — крутильная жесткость стержня.

Период колебаний равен

г-2«?.

В случае однородного круглого стержня с

где d n I — диаметр и длина стержня, а G-сдвига материала стержня.

Б. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

1°. Затухающими колебаниями называют колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных колебаний механической системы обусловлено диссипацией ее энергии вследствие действия на систему непотенциальных сил сопротивления (трения).
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed